Google
Câu hỏi: Cho hai số thực x, y thỏa mãn ${{\log }_{4}}\left( x+2y \right)+{{\log }_{4}}\left( x-2y \right)=1$. Giá trị nhỏ nhất của $S=\left| x \right|-\left| y \right|$ là:
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
B. 1
C. $2\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}$
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
B. 1
C. $2\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}$
Ta có ${{\log }_{4}}\left( x+2y \right)+{{\log }_{4}}\left( x-2y \right)=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4{{y}^{2}}=4\Leftrightarrow \left| x \right|=\sqrt{4+4{{y}^{2}}}$
Do đó $S=\left| x \right|-\left| y \right|=\sqrt{4+4{{y}^{2}}}-\left| y \right|=f\left( y \right)$
Vì $f\left( y \right)$ là hàm chẵn nên ta chỉ xét trường hợp $y\ge 0$
Xét hàm số: $f\left( y \right)=\sqrt{4+4{{y}^{2}}}-y$ với $y\in \left[ 0; +\infty \right)$
${f}'\left( y \right)=\dfrac{8y}{2\sqrt{4+4{{y}^{2}}}}-1=0\Leftrightarrow 4y=\sqrt{4+4{{y}^{2}}}\Leftrightarrow y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow f\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)=\sqrt{3}$. Bảng biến thiên
Vậy $\min S=\sqrt{3}$
Do đó $S=\left| x \right|-\left| y \right|=\sqrt{4+4{{y}^{2}}}-\left| y \right|=f\left( y \right)$
Vì $f\left( y \right)$ là hàm chẵn nên ta chỉ xét trường hợp $y\ge 0$
Xét hàm số: $f\left( y \right)=\sqrt{4+4{{y}^{2}}}-y$ với $y\in \left[ 0; +\infty \right)$
${f}'\left( y \right)=\dfrac{8y}{2\sqrt{4+4{{y}^{2}}}}-1=0\Leftrightarrow 4y=\sqrt{4+4{{y}^{2}}}\Leftrightarrow y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow f\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)=\sqrt{3}$. Bảng biến thiên
Đáp án D.