Cho hai số thực x, y thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned} & x\ge...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hai số thực x, y thỏa mãn

{\begin{aligned} x \geq 0; y \geq 0 \\ x + y = 1 \end{aligned}

. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = (4 x^{2} + 3 y) (4 y^{2} + 3 x) + 25 x y

. Khi đó có giá trị bằng:
A. 46.
B.

\frac{1983}{16} .

C.

\frac{215}{2} .

D. 108.

Ta có:

\begin{aligned} P = (4 x^{2} + 3 y) (4 y^{2} + 3 x) + 25 x y = 16 {(x y)}^{2} + 34 x y + 12 (x^{3} + y^{3}) \\ = 16 {(x y)}^{2} + 34 x y + 12 (x + y) [{(x + y)}^{2} - 3 x y] = 16 {(x y)}^{2} - 2 x y + 12. \end{aligned}

Ta có:

0 \leq x \leq \frac{{(x + y)}^{2}}{4} = \frac{1}{4}; x y = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

y = 0; x y = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}

.
Đặt

t = x y

thì

P = f (t) = 16 t^{2} - 2 t + 12

với

t \in [0; \frac{1}{4}]

.

f^{'} (t) = 32 t - 2; f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{16}; f (0) = 12; f (\frac{1}{16}) = \frac{191}{16}; f (\frac{1}{4}) = \frac{25}{2}

.
Vậy

M = \frac{25}{2}; m = \frac{191}{16}

. Do đó

M + 8 m = 108

.

Đáp án D.