Google
Câu hỏi: Cho hai số thực x, y thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0;y\ge 0 \\
& x+y=1 \\
\end{aligned} \right. $. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=\left( 4{{x}^{2}}+3y \right)\left( 4{{y}^{2}}+3x \right)+25xy$. Khi đó có giá trị bằng:
A. 46.
B. $\dfrac{1983}{16}.$
C. $\dfrac{215}{2}.$
D. 108.
& x\ge 0;y\ge 0 \\
& x+y=1 \\
\end{aligned} \right. $. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=\left( 4{{x}^{2}}+3y \right)\left( 4{{y}^{2}}+3x \right)+25xy$. Khi đó có giá trị bằng:
A. 46.
B. $\dfrac{1983}{16}.$
C. $\dfrac{215}{2}.$
D. 108.
Ta có: $\begin{aligned}
& P=\left( 4{{x}^{2}}+3y \right)\left( 4{{y}^{2}}+3x \right)+25xy=16{{\left( xy \right)}^{2}}+34xy+12\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right) \\
& \ \ \ =16{{\left( xy \right)}^{2}}+34xy+12\left( x+y \right)\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-3xy \right]=16{{\left( xy \right)}^{2}}-2xy+12. \\
\end{aligned}$
Ta có: $0\le x\le \dfrac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}=\dfrac{1}{4};xy=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $y=0;xy=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$.
Đặt $t=xy$ thì $P=f\left( t \right)=16{{t}^{2}}-2t+12$ với $t\in \left[ 0;\dfrac{1}{4} \right]$.
$f'\left( t \right)=32t-2;f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{16};f\left( 0 \right)=12;f\left( \dfrac{1}{16} \right)=\dfrac{191}{16};f\left( \dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{25}{2}$.
Vậy $M=\dfrac{25}{2};m=\dfrac{191}{16}$. Do đó $M+8m=108$.
& P=\left( 4{{x}^{2}}+3y \right)\left( 4{{y}^{2}}+3x \right)+25xy=16{{\left( xy \right)}^{2}}+34xy+12\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right) \\
& \ \ \ =16{{\left( xy \right)}^{2}}+34xy+12\left( x+y \right)\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-3xy \right]=16{{\left( xy \right)}^{2}}-2xy+12. \\
\end{aligned}$
Ta có: $0\le x\le \dfrac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}=\dfrac{1}{4};xy=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $y=0;xy=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$.
Đặt $t=xy$ thì $P=f\left( t \right)=16{{t}^{2}}-2t+12$ với $t\in \left[ 0;\dfrac{1}{4} \right]$.
$f'\left( t \right)=32t-2;f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{16};f\left( 0 \right)=12;f\left( \dfrac{1}{16} \right)=\dfrac{191}{16};f\left( \dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{25}{2}$.
Vậy $M=\dfrac{25}{2};m=\dfrac{191}{16}$. Do đó $M+8m=108$.
Đáp án D.