Google
Câu hỏi: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện $x\ne 0,-1\le y\le \dfrac{13}{2}$ và ${{4}^{{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-1}}={{\log }_{2}}\left[ 14-(y-2)\sqrt{y+1} \right]$. Giá trị của ${{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}+1$ bằng
A. 4
B. 2
C. $-4$
D. $-2$
A. 4
B. 2
C. $-4$
D. $-2$
Ta có ${{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-1\ge 2\sqrt{{{x}^{2}}.\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}-1=1\Rightarrow {{4}^{{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-1}}\ge 4$
Lại có $14-(y-2)\sqrt{y+1}\le 16$ (khảo sát hàm số trên $\left[ -1;\dfrac{13}{2} \right]$ )
Do đó ${{\log }_{2}}\left[ 14-(y-2)\sqrt{y+1} \right]\le {{\log }_{2}}16=4$
Khi đó, giả thiết trở thành $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=1 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}+1=2$
Với hai số a;b không âm ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b$
Lại có $14-(y-2)\sqrt{y+1}\le 16$ (khảo sát hàm số trên $\left[ -1;\dfrac{13}{2} \right]$ )
Do đó ${{\log }_{2}}\left[ 14-(y-2)\sqrt{y+1} \right]\le {{\log }_{2}}16=4$
Khi đó, giả thiết trở thành $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=1 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}+1=2$
Note 33: Phương pháp chung
Bất đẳng thức Côsi:Với hai số a;b không âm ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b$
Đáp án B.