Google
Câu hỏi: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn ${{e}^{x-4y+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{e}^{{{y}^{2}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-y=\dfrac{{{y}^{2}}-x}{4}$ giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{x}^{3}}+2{{y}^{2}}-2{{x}^{2}}+8y-x+2$ là $\dfrac{a}{b}$ với a, b là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $S=a+b$.
A. $S=85$.
B. $S=31$.
C. 75.
D. 41.
A. $S=85$.
B. $S=31$.
C. 75.
D. 41.
Theo giả thiết ta có $-1\le x\le 1$ và có biến đổi $4{{e}^{x-4y+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}-4{{e}^{{{y}^{2}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}={{y}^{2}}-\left( x-4y \right)$
$\Leftrightarrow x-4y+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+4{{e}^{x-4y+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}={{y}^{2}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+4{{e}^{{{y}^{2}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}$
$\Leftrightarrow f\left( x-4y+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=f\left( {{y}^{2}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$
$\Leftrightarrow x-4y+\sqrt{1-{{x}^{2}}}={{y}^{2}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x={{y}^{2}}+4y$
Trong đó $f\left( t \right)=t+4{{e}^{t}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $P={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2+2\left( {{y}^{2}}+4y \right)=f\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+2\le \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{58}{27}$.
Vậy: $S=58+27=85$.
$\Leftrightarrow x-4y+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+4{{e}^{x-4y+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}={{y}^{2}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+4{{e}^{{{y}^{2}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}$
$\Leftrightarrow f\left( x-4y+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=f\left( {{y}^{2}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$
$\Leftrightarrow x-4y+\sqrt{1-{{x}^{2}}}={{y}^{2}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x={{y}^{2}}+4y$
Trong đó $f\left( t \right)=t+4{{e}^{t}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $P={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2+2\left( {{y}^{2}}+4y \right)=f\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+2\le \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{58}{27}$.
Vậy: $S=58+27=85$.
Đáp án A.