Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn

e^{x - 4 y + \sqrt{1 - x^{2}}} - e^{y^{2} + \sqrt{1 - x^{2}}} - y = \frac{y^{2} - x}{4}

giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x^{3} + 2 y^{2} - 2 x^{2} + 8 y - x + 2

là

\frac{a}{b}

với a, b là các số nguyên dương và

\frac{a}{b}

là phân số tối giản. Tính

S = a + b

.
A.

S = 85

.
B.

S = 31

.
C. 75.
D. 41.

Theo giả thiết ta có

- 1 \leq x \leq 1

và có biến đổi

4 e^{x - 4 y + \sqrt{1 + x^{2}}} - 4 e^{y^{2} + \sqrt{1 - x^{2}}} = y^{2} - (x - 4 y)

\Leftrightarrow x - 4 y + \sqrt{1 - x^{2}} + 4 e^{x - 4 y + \sqrt{1 + x^{2}}} = y^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} + 4 e^{y^{2} + \sqrt{1 - x^{2}}}

\Leftrightarrow f (x - 4 y + \sqrt{1 - x^{2}}) = f (y^{2} + \sqrt{1 - x^{2}})

\Leftrightarrow x - 4 y + \sqrt{1 - x^{2}} = y^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} \Leftrightarrow x = y^{2} + 4 y

Trong đó

f (t) = t + 4 e^{t}

đồng biến trên

R

.
Do đó

P = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 + 2 (y^{2} + 4 y) = f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 2 \leq max_{[- 1; 1]} f (x) = f (\frac{1}{3}) = \frac{58}{27}

.
Vậy:

S = 58 + 27 = 85

.

Đáp án A.