Google
Câu hỏi: Cho hai số thực $x>0,y>-1$ thỏa mãn ${{2}^{{{x}^{2}}-\sqrt{y+1}}}{{\log }_{2}}x={{\log }_{2}}\dfrac{y}{\sqrt{y+1}-1}.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}^{2}}+y$ bằng
A. 1.
B. $\dfrac{1}{2}.$
C. $-\dfrac{3}{4}.$
D. $-\dfrac{1}{4}.$
A. 1.
B. $\dfrac{1}{2}.$
C. $-\dfrac{3}{4}.$
D. $-\dfrac{1}{4}.$
Ta có: ${{2}^{{{x}^{2}}-\sqrt{y+1}}}{{\log }_{2}}x={{\log }_{2}}\dfrac{y}{\sqrt{y+1}-1}\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{{{x}^{2}}}}}{{{2}^{\sqrt{y+1}}}}{{\log }_{2}}x={{\log }_{2}}\dfrac{y\left( \sqrt{y+1}+1 \right)}{\left( \sqrt{y+1}-1 \right)\left( \sqrt{y+1}+1 \right)}$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}}}{{\log }_{2}}x={{2}^{\sqrt{y+1}}}{{\log }_{2}}\left( \sqrt{y+1}+1 \right)\Leftrightarrow {{2.2}^{{{x}^{2}}}}{{\log }_{2}}x={{2}^{\sqrt{y+1}+1}}{{\log }_{2}}\left( \sqrt{y+1}+1 \right)={{2}^{{{x}^{2}}}}{{\log }_{2}}{{x}^{2}}$
Nhận thấy ngay hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}.{{\log }_{2}}t$ đơn điệu trên miền dương
$\Rightarrow {{x}^{2}}=\sqrt{y+1}+1\Rightarrow y={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1\Rightarrow P={{x}^{2}}+y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{4}\ge \dfrac{1}{4}.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{x}^{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (vì $x>0$ ).
Vậy ${{P}_{\min }}=-\dfrac{1}{4}.$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}}}{{\log }_{2}}x={{2}^{\sqrt{y+1}}}{{\log }_{2}}\left( \sqrt{y+1}+1 \right)\Leftrightarrow {{2.2}^{{{x}^{2}}}}{{\log }_{2}}x={{2}^{\sqrt{y+1}+1}}{{\log }_{2}}\left( \sqrt{y+1}+1 \right)={{2}^{{{x}^{2}}}}{{\log }_{2}}{{x}^{2}}$
Nhận thấy ngay hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}.{{\log }_{2}}t$ đơn điệu trên miền dương
$\Rightarrow {{x}^{2}}=\sqrt{y+1}+1\Rightarrow y={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1\Rightarrow P={{x}^{2}}+y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{4}\ge \dfrac{1}{4}.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{x}^{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (vì $x>0$ ).
Vậy ${{P}_{\min }}=-\dfrac{1}{4}.$
Đáp án A.