Cho hai số thực $x > 0, y > - 1$ thỏa mãn...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hai số thực

x > 0, y > - 1

thỏa mãn

2^{x^{2} - \sqrt{y + 1}} \log_{2} x = \log_{2} \frac{y}{\sqrt{y + 1} - 1} .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x^{2} + y

bằng
A. 1.
B.

\frac{1}{2} .

C.

- \frac{3}{4} .

D.

- \frac{1}{4} .

Ta có:

2^{x^{2} - \sqrt{y + 1}} \log_{2} x = \log_{2} \frac{y}{\sqrt{y + 1} - 1} \Leftrightarrow \frac{2^{x^{2}}}{2^{\sqrt{y + 1}}} \log_{2} x = \log_{2} \frac{y (\sqrt{y + 1} + 1)}{(\sqrt{y + 1} - 1) (\sqrt{y + 1} + 1)}

\Leftrightarrow 2^{x^{2}} \log_{2} x = 2^{\sqrt{y + 1}} \log_{2} (\sqrt{y + 1} + 1) \Leftrightarrow {2.2}^{x^{2}} \log_{2} x = 2^{\sqrt{y + 1} + 1} \log_{2} (\sqrt{y + 1} + 1) = 2^{x^{2}} \log_{2} x^{2}

Nhận thấy ngay hàm số

f (t) = 2^{t} . \log_{2} t

đơn điệu trên miền dương

\Rightarrow x^{2} = \sqrt{y + 1} + 1 \Rightarrow y = {(x^{2} - 1)}^{2} - 1 \Rightarrow P = x^{2} + y = x^{4} - x^{2} = {(x^{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \geq \frac{1}{4} .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

x^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{2}

(vì

x > 0

).
Vậy

P_{min} = - \frac{1}{4} .

Đáp án A.

Cho hai số thực x>0,y>−1 thỏa mãn...