Google
Câu hỏi: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $\dfrac{4{{\text{x}}^{2}}+3}{\sqrt{2y+1}}=\dfrac{y+2}{x}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=y-4\text{x}$ là
A. $P=-2$
B. $P=-\dfrac{5}{2}$
C. $P=-3$
D. $P=-\dfrac{7}{2}$
A. $P=-2$
B. $P=-\dfrac{5}{2}$
C. $P=-3$
D. $P=-\dfrac{7}{2}$
Ta có $\dfrac{4{{\text{x}}^{2}}+3}{\sqrt{2y+1}}=\dfrac{y+2}{x}\Leftrightarrow 4{{\text{x}}^{3}}+3\text{x}=\left( y+2 \right)\sqrt{2y+1}\Leftrightarrow 8{{\text{x}}^{3}}+6\text{x}=\left( 2y+4 \right)\sqrt{2y+1}$
$\Leftrightarrow {{\left( 2\text{x} \right)}^{3}}+3\left( 2\text{x} \right)=\left( 2y+1 \right)\sqrt{2y+1}+3\sqrt{2y+1}$.(1)
Xét hàm $f\left( t \right)={{t}^{3}}+3t$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+3>0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+3t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
(1) $\Leftrightarrow f\left( 2\text{x} \right)=f\left( \sqrt{2y+1} \right)\Leftrightarrow 2\text{x}=\sqrt{2y+1}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2y+1}}{2}$.
Vậy $P=y-2\sqrt{2y+1}=g\left( y \right)$ với $y\in \left( 0;+\infty \right)$.
Ta có ${g}'\left( y \right)=1-\dfrac{2}{\sqrt{2y+1}}=0\Leftrightarrow \sqrt{2y+1}=2\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}$.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có ${{P}_{\min }}=\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( y \right)=-\dfrac{5}{2}$ khi $y=\dfrac{3}{2}$.
$\Leftrightarrow {{\left( 2\text{x} \right)}^{3}}+3\left( 2\text{x} \right)=\left( 2y+1 \right)\sqrt{2y+1}+3\sqrt{2y+1}$.(1)
Xét hàm $f\left( t \right)={{t}^{3}}+3t$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+3>0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+3t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
(1) $\Leftrightarrow f\left( 2\text{x} \right)=f\left( \sqrt{2y+1} \right)\Leftrightarrow 2\text{x}=\sqrt{2y+1}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2y+1}}{2}$.
Vậy $P=y-2\sqrt{2y+1}=g\left( y \right)$ với $y\in \left( 0;+\infty \right)$.
Ta có ${g}'\left( y \right)=1-\dfrac{2}{\sqrt{2y+1}}=0\Leftrightarrow \sqrt{2y+1}=2\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}$.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có ${{P}_{\min }}=\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( y \right)=-\dfrac{5}{2}$ khi $y=\dfrac{3}{2}$.
Đáp án B.