Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

\frac{4 x^{2} + 3}{\sqrt{2 y + 1}} = \frac{y + 2}{x}

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = y - 4 x

là
A.

P = - 2

B.

P = - \frac{5}{2}

C.

P = - 3

D.

P = - \frac{7}{2}

Ta có

\frac{4 x^{2} + 3}{\sqrt{2 y + 1}} = \frac{y + 2}{x} \Leftrightarrow 4 x^{3} + 3 x = (y + 2) \sqrt{2 y + 1} \Leftrightarrow 8 x^{3} + 6 x = (2 y + 4) \sqrt{2 y + 1}

\Leftrightarrow {(2 x)}^{3} + 3 (2 x) = (2 y + 1) \sqrt{2 y + 1} + 3 \sqrt{2 y + 1}

.(1)
Xét hàm

f (t) = t^{3} + 3 t

trên

R

.
Ta có

f^{'} (t) = 3 t^{2} + 3 > 0, \forall t \in R \Rightarrow

Hàm số

f (t) = t^{3} + 3 t

đồng biến trên

R

.
(1)

\Leftrightarrow f (2 x) = f (\sqrt{2 y + 1}) \Leftrightarrow 2 x = \sqrt{2 y + 1} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2}

.
Vậy

P = y - 2 \sqrt{2 y + 1} = g (y)

với

y \in (0; + \infty)

.
Ta có

g^{'} (y) = 1 - \frac{2}{\sqrt{2 y + 1}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2 y + 1} = 2 \Leftrightarrow y = \frac{3}{2}

.
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có

P_{min} = min_{(0; + \infty)} g (y) = - \frac{5}{2}

khi

y = \frac{3}{2}

.

Đáp án B.