Google
Câu hỏi: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $xy\le 4y-1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\dfrac{6y}{x}+\ln \left( \dfrac{x+2y}{y} \right).$
A. $24+\ln 6.$
B. $12+\ln 4.$
C. $\dfrac{3}{2}+\ln 6.$
D. $3+\ln 4.$
A. $24+\ln 6.$
B. $12+\ln 4.$
C. $\dfrac{3}{2}+\ln 6.$
D. $3+\ln 4.$
Ta có $xy\le 4y-1\Leftrightarrow \dfrac{x}{y}\le \dfrac{4}{y}-\dfrac{1}{{{y}^{2}}}=-{{\left( \dfrac{1}{y}-2 \right)}^{2}}+4\le 4.$
Đặt $t=\dfrac{x}{y},0<t\le 4.$
$S=\dfrac{6y}{x}+\ln \left( \dfrac{x+2y}{y} \right)$ thành $S=\dfrac{6}{t}+\ln \left( t+2 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{6}{t}+\ln \left( t+2 \right)$ trên $\left( 0;4 \right]$ được $\underset{\left( 0;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 4 \right)=\dfrac{3}{2}+\ln 6.$
Đặt $t=\dfrac{x}{y},0<t\le 4.$
$S=\dfrac{6y}{x}+\ln \left( \dfrac{x+2y}{y} \right)$ thành $S=\dfrac{6}{t}+\ln \left( t+2 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{6}{t}+\ln \left( t+2 \right)$ trên $\left( 0;4 \right]$ được $\underset{\left( 0;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 4 \right)=\dfrac{3}{2}+\ln 6.$
Đáp án C.