Google
Câu hỏi: Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}x={{\log }_{6}}y={{\log }_{2}}\left( x+y \right).$ Biểu thức $P=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}$ có giá trị bằng
A. 27.
B. 36.
C. 18.
D. 45.
A. 27.
B. 36.
C. 18.
D. 45.
Đặt ${{\log }_{3}}x={{\log }_{6}}y={{\log }_{2}}\left( x+y \right)=t\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{3}^{t}} \\
& y={{6}^{t}} \\
& x+y={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{3}^{t}}+{{6}^{t}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow g\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}+{{3}^{t}}=1\left( * \right)$
Xét hàm số $g\left( t \right)$ trên $\mathbb{R}$ ta có: $g'\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}\ln \dfrac{3}{2}+{{3}^{t}}\ln 3>0\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$
Do đó hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$ Ta có: $\left( * \right)\Leftrightarrow g\left( t \right)=g\left( -1 \right)\Leftrightarrow t=-1$
Suy ra $x=\dfrac{1}{3},y=\dfrac{1}{6}\Rightarrow P=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}=45.$
& x={{3}^{t}} \\
& y={{6}^{t}} \\
& x+y={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{3}^{t}}+{{6}^{t}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow g\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}+{{3}^{t}}=1\left( * \right)$
Xét hàm số $g\left( t \right)$ trên $\mathbb{R}$ ta có: $g'\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}\ln \dfrac{3}{2}+{{3}^{t}}\ln 3>0\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$
Do đó hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$ Ta có: $\left( * \right)\Leftrightarrow g\left( t \right)=g\left( -1 \right)\Leftrightarrow t=-1$
Suy ra $x=\dfrac{1}{3},y=\dfrac{1}{6}\Rightarrow P=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}=45.$
Đáp án D.