Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}x={{\log...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho hai số thực dương

x, y

thỏa mãn

\log_{3} x = \log_{6} y = \log_{2} (x + y) .

Biểu thức

P = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}

có giá trị bằng
A. 27.
B. 36.
C. 18.
D. 45.

Đặt

\log_{3} x = \log_{6} y = \log_{2} (x + y) = t \Rightarrow {\begin{aligned} x = 3^{t} \\ y = 6^{t} \\ x + y = 2^{t} \end{aligned}

Suy ra

3^{t} + 6^{t} = 2^{t} \Leftrightarrow g (t) = {(\frac{3}{2})}^{t} + 3^{t} = 1 (*)

Xét hàm số

g (t)

trên

R

ta có:

g^{'} (t) = {(\frac{3}{2})}^{t} \ln \frac{3}{2} + 3^{t} \ln 3 > 0 (\forall t \in R)

Do đó hàm số

g (t)

đồng biến trên

R .

Ta có:

(*) \Leftrightarrow g (t) = g (- 1) \Leftrightarrow t = - 1

Suy ra

x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{6} \Rightarrow P = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 45.

Đáp án D.

Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn ${{\log }_{3}}x={{\log...