Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\log _{2} x+x(x+y) \geq \log...

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0 \\ 0<y<6\end{array}\right.$.
Bất phương trình tương đương với: $\log _{2} x^{2}+x^{2} \geq \log _{2}[x(6-y)]+x(6-y)(*)$.
Xét hàm số $f(t)=\log _{2} t+t$ (với $t>0$ ).
Ta có ${f}'(t)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t>0$ nên hàm số $f(t)=\log _{2} t+t$ đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$.
Do đó $(*) \Leftrightarrow f\left(x^{2}\right) \geq f(x(6-y)) \Leftrightarrow x^{2} \geq x(6-y) \Leftrightarrow x \geq 6-y \Leftrightarrow x+y \geq 6 \quad($ **) (do $x>0$ ).
Áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dương và bất đẳng thức $(* *),$ ta có:
$P=3 x+2 y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{y}=\dfrac{3}{2}(x+y)+\left(\dfrac{3 x}{2}+\dfrac{6}{x}\right)+\left(\dfrac{y}{2}+\dfrac{8}{y}\right) \geq \dfrac{3}{2} \cdot 6+2 \sqrt{\dfrac{3 x}{2} \cdot \dfrac{6}{x}}+2 \sqrt{\dfrac{y}{2} \cdot \dfrac{8}{y}}=19$
Đằng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& x+y=6 \\
& \dfrac{3x}{2}=\dfrac{6}{x} \\
& \dfrac{y}{2}=\dfrac{8}{y} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=2 \\
y=4 \\
\end{array} \right.$.
Vậy $P_{\min }=19$.
Chú ý: Cho hàm số $f(t)$ đơn điệu trên tập xác định $D$, khi đó
$f(a)>f(b), \forall a, b \in D \Leftrightarrow a>b$