Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\log _{2} x+x(x+y) \geq \log...

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x>0\\ 0<y<6\end{array}$.
Bất phương trình tương đương với: ${\log }_2{x}^2+x^2\ge {\log }_2[x(6-y)]+x(6-y)(\ast )$.
Xét hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t$ (với $t>0$ ).
Ta có $f^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{1}{t\ln 2}}+1>0,\mathrm{\forall }t>0$ nên hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$.
Do đó $(\ast )\iff f\left(x^2\right)\ge f(x(6-y))\iff x^2\ge x(6-y)\iff x\ge 6-y\iff x+y\ge 6($ **) (do $x>0$ ).
Áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dương và bất đẳng thức $(\ast \ast ),$ ta có:
$P=3x+2y+{\displaystyle \frac{6}{x}}+{\displaystyle \frac{8}{y}}={\displaystyle \frac{3}{2}}(x+y)+({\displaystyle \frac{3x}{2}}+{\displaystyle \frac{6}{x}})+({\displaystyle \frac{y}{2}}+{\displaystyle \frac{8}{y}})\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 6+2\sqrt{{\displaystyle \frac{3x}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{x}}}+2\sqrt{{\displaystyle \frac{y}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{y}}}=19$
Đằng thức xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{rl}& x+y=6\\ & {\displaystyle \frac{3x}{2}}={\displaystyle \frac{6}{x}}\\ & {\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{8}{y}}\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}$.
Vậy $P_{min}=19$.
Chú ý: Cho hàm số $f(t)$ đơn điệu trên tập xác định $D$, khi đó
$f(a)>f(b),\mathrm{\forall }a,b\in D\iff a>b$