Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ${{\log }_{2}}x+{{\log...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

\log_{2} x + \log_{2} (x + 3 y) \leq 2 + 2 \log_{2} y .

Biết giá trị lớn nhất của biểu thức

S = \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} - x y + 2 y^{2}}} - \frac{2 x + 3 y}{x + 2 y}

là

\sqrt{a} - \frac{b}{c}

với a, b, c là các số nguyên dương và

\frac{b}{c}

là phân số tối giản. Tính

P = a + b + c .

A.

P = 30.

B.

P = 15.

C.

P = 17.

D.

P = 10.

Theo giả thiết ta có:

\log_{2} (x^{2} + 3 x y) \leq \log_{2} (4 y^{2}) \Leftrightarrow x^{2} + 3 x y \leq 4 y^{2} \Leftrightarrow {(\frac{x}{y})}^{2} + 3 (\frac{x}{y}) \leq 4

\Rightarrow 0 < t = \frac{x}{y} \leq 1.

Khi đó

S = f (t) = \frac{t + 1}{\sqrt{t^{2} - t + 2}} - \frac{2 t + 3}{t + 2}

(với

0 < t \leq 1

).
Ta có

f^{'} (t) = \frac{5 - 3 t}{2 \sqrt{{(t^{2} - t + 2)}^{3}}} - \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} \geq \frac{2}{2 \sqrt{2^{3}}} - \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} = \frac{{(t + 2)}^{2} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} {(t + 2)}^{2}} > 0

Do đó

max S = max_{(0; 1]} f (t) = f (1) = \sqrt{2} - \frac{5}{3} \Rightarrow {\begin{aligned} a = 2 \\ b = 5 \\ c = 3 \end{aligned} \Rightarrow P = 10.

Đáp án D.