Google
Câu hỏi: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}\left( x+3y \right)\le 2+2{{\log }_{2}}y.$ Biết giá trị lớn nhất của biểu thức $S=\dfrac{x+y}{\sqrt{{{x}^{2}}-xy+2{{y}^{2}}}}-\dfrac{2x+3y}{x+2y}$ là $\sqrt{a}-\dfrac{b}{c}$ với a, b, c là các số nguyên dương và $\dfrac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $P=a+b+c.$
A. $P=30.$
B. $P=15.$
C. $P=17.$
D. $P=10.$
A. $P=30.$
B. $P=15.$
C. $P=17.$
D. $P=10.$
Theo giả thiết ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+3xy \right)\le {{\log }_{2}}\left( 4{{y}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3xy\le 4{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}+3\left( \dfrac{x}{y} \right)\le 4$
$\Rightarrow 0<t=\dfrac{x}{y}\le 1.$
Khi đó $S=f\left( t \right)=\dfrac{t+1}{\sqrt{{{t}^{2}}-t+2}}-\dfrac{2t+3}{t+2}$ (với $0<t\le 1$ ).
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{5-3t}{2\sqrt{{{\left( {{t}^{2}}-t+2 \right)}^{3}}}}-\dfrac{1}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}\ge \dfrac{2}{2\sqrt{{{2}^{3}}}}-\dfrac{1}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\left( t+2 \right)}^{2}}-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}{{\left( t+2 \right)}^{2}}}>0$
Do đó $\max S=\underset{\left( 0;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=\sqrt{2}-\dfrac{5}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=5 \\
& c=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=10.$
$\Rightarrow 0<t=\dfrac{x}{y}\le 1.$
Khi đó $S=f\left( t \right)=\dfrac{t+1}{\sqrt{{{t}^{2}}-t+2}}-\dfrac{2t+3}{t+2}$ (với $0<t\le 1$ ).
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{5-3t}{2\sqrt{{{\left( {{t}^{2}}-t+2 \right)}^{3}}}}-\dfrac{1}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}\ge \dfrac{2}{2\sqrt{{{2}^{3}}}}-\dfrac{1}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\left( t+2 \right)}^{2}}-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}{{\left( t+2 \right)}^{2}}}>0$
Do đó $\max S=\underset{\left( 0;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=\sqrt{2}-\dfrac{5}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=5 \\
& c=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=10.$
Đáp án D.