Google
Câu hỏi: Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${{2}^{\ln \left( \dfrac{x+y}{2} \right)}}{{.5}^{\ln \left( x+y \right)}}={{2}^{\ln 5}}.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left( x+1 \right)\ln x+\left( y+1 \right)\ln y.$
A. ${{P}_{\max }}=\ln 2.$
B. ${{P}_{\max }}=10$
C. ${{P}_{\max }}=0$
D. ${{P}_{\max }}=1$
A. ${{P}_{\max }}=\ln 2.$
B. ${{P}_{\max }}=10$
C. ${{P}_{\max }}=0$
D. ${{P}_{\max }}=1$
Ta có
${{2}^{\ln \left( \dfrac{x+y}{2} \right)}}{{.5}^{\ln \left( x+y \right)}}={{2}^{\ln 5}}$
$\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{\ln 2}}.{{\left( x+y \right)}^{\ln 5}}={{2}^{\ln 2}}{{.2}^{\ln 5}}$
$\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{\ln 2+\ln 5}}={{2}^{\ln 2+\ln 5}}$
$\Leftrightarrow x+y=2$
$\Leftrightarrow y=2-x\Rightarrow 0<x<2$
Khi đó $P=\left( x+1 \right)\ln x+\left( y+1 \right)\ln y=\left( x+1 \right)\ln x+\left( 3-x \right)\ln \left( 2-x \right),0<x<2$
* $P'=\ln x+\left( x+1 \right)\dfrac{1}{x}-\ln \left( 2-x \right)-\dfrac{x-3}{x-2}=\ln x-\ln \left( 2-x \right)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-2}$
* $P''=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2-x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}=\dfrac{-4{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}{{\left( 2-x \right)}^{2}}}\le 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
Suy ra phương trình $P'=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm mà $P\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow x=1.$
BBT
Dựa theo BBT thì ${{P}_{max}}=0.$
${{2}^{\ln \left( \dfrac{x+y}{2} \right)}}{{.5}^{\ln \left( x+y \right)}}={{2}^{\ln 5}}$
$\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{\ln 2}}.{{\left( x+y \right)}^{\ln 5}}={{2}^{\ln 2}}{{.2}^{\ln 5}}$
$\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{\ln 2+\ln 5}}={{2}^{\ln 2+\ln 5}}$
$\Leftrightarrow x+y=2$
$\Leftrightarrow y=2-x\Rightarrow 0<x<2$
Khi đó $P=\left( x+1 \right)\ln x+\left( y+1 \right)\ln y=\left( x+1 \right)\ln x+\left( 3-x \right)\ln \left( 2-x \right),0<x<2$
* $P'=\ln x+\left( x+1 \right)\dfrac{1}{x}-\ln \left( 2-x \right)-\dfrac{x-3}{x-2}=\ln x-\ln \left( 2-x \right)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-2}$
* $P''=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2-x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}=\dfrac{-4{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}{{\left( 2-x \right)}^{2}}}\le 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
Suy ra phương trình $P'=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm mà $P\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow x=1.$
BBT
Dựa theo BBT thì ${{P}_{max}}=0.$
Đáp án C.