Cho hai số thực dương $a,b<1$ và thỏa mãn $a+4{{b}^{{{\log...

Chú ý: Với điều kiện có nghĩa ta luôn có ${{a}^{{{\log }_{b}}c}}={{c}^{{{\log }_{b}}a}}$
Do đó $a+4{{b}^{{{\log }_{a}}\left( {{a}^{2}}b \right)}}={{a}^{{{\log }_{b}}b}}+4{{b}^{{{\log }_{a}}{{a}^{2}}+{{\log }_{a}}b}}={{b}^{{{\log }_{b}}a}}+4{{b}^{{{\log }_{a}}b+2}}$
Đặt $t={{\log }_{b}}a\left( t>0 \right)$. Vì $a,b<1$ nên ${{\log }_{b}}a>0$
Khi đó $4{{b}^{2}}={{b}^{{{\log }_{b}}a}}+4{{b}^{{{\log }_{a}}b+2}}={{b}^{t}}+4{{b}^{\dfrac{1}{t}+2}}\ge 2.\sqrt{4{{b}^{t+\dfrac{1}{t}+2}}}\ge 4\sqrt{{{b}^{2\sqrt{t.\dfrac{1}{t}+2}}}}=4{{b}^{2}}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& {{b}^{t}}=4{{b}^{\dfrac{1}{t}+2}} \\
& t=\dfrac{1}{t} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=\dfrac{1}{2} \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=\dfrac{1}{2} \\
& {{\log }_{b}}a=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ P=2a+b=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$