Google
Câu hỏi: Cho hai số thực bất kì $a>1,b>1.$ Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1.$ Trong trường hợp biểu thực $S={{\left( \dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-6{{x}_{1}}-6{{x}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất, khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $a={{b}^{\sqrt[3]{3}}}$
B. $a={{b}^{\sqrt[3]{6}}}$
C. $a={{b}^{\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}}}$
D. $a={{b}^{\sqrt[3]{\dfrac{1}{6}}}}$
A. $a={{b}^{\sqrt[3]{3}}}$
B. $a={{b}^{\sqrt[3]{6}}}$
C. $a={{b}^{\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}}}$
D. $a={{b}^{\sqrt[3]{\dfrac{1}{6}}}}$
Phương pháp:
- Lấy logarit cơ số b hai vế của phương trình ${{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1$, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn x
- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn x có 2 nghiệm phân biệt
- Áp dụng định lý Viet: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{b}{a},{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}$
- Đặt ẩn phụ $t={{\log }_{b}}a,$ chứng minh $t>0$
- Áp dụng BĐT Cosi cho ba số a, b, c không âm: $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
Cách giải:
${{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\Leftrightarrow {{\log }_{b}}\left( {{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}} \right)={{\log }_{b}}1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{b}}{{a}^{x}}+{{\log }_{b}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=0$
$\Leftrightarrow x{{\log }_{b}}a+{{x}^{2}}-1=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( {{\log }_{b}}a \right)x-1=0\left( * \right)$
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt
$\Rightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{b}}a \right)}^{2}}+4>0$ (luôn đúng)
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*), áp dụng định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-{{\log }_{b}}a \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có:
$S={{\left( \dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-6{{x}_{1}}-6{{x}_{2}}={{\left( \dfrac{-1}{-{{\log }_{b}}a} \right)}^{2}}-6\left( -{{\log }_{b}}a \right)=\dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}+6{{\log }_{b}}a$
Đặt $t={{\log }_{b}}a$ với $a>1,b>1$ thì ${{\log }_{b}}a>{{\log }_{b}}1=0\Rightarrow t>0,$ khi đó:
$S=\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+6t=\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+3t+3t\ge \sqrt[3]{\dfrac{1}{{{t}^{2}}}.3t.3t}=\sqrt[3]{9}$
$\Rightarrow {{S}_{\min }}=\sqrt[3]{9},$ dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{t}^{2}}}=3t\Leftrightarrow {{t}^{3}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}\Leftrightarrow a={{b}^{\sqrt{\dfrac{1}{3}}}}$
- Lấy logarit cơ số b hai vế của phương trình ${{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1$, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn x
- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn x có 2 nghiệm phân biệt
- Áp dụng định lý Viet: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{b}{a},{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}$
- Đặt ẩn phụ $t={{\log }_{b}}a,$ chứng minh $t>0$
- Áp dụng BĐT Cosi cho ba số a, b, c không âm: $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
Cách giải:
${{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\Leftrightarrow {{\log }_{b}}\left( {{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}} \right)={{\log }_{b}}1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{b}}{{a}^{x}}+{{\log }_{b}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=0$
$\Leftrightarrow x{{\log }_{b}}a+{{x}^{2}}-1=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( {{\log }_{b}}a \right)x-1=0\left( * \right)$
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt
$\Rightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{b}}a \right)}^{2}}+4>0$ (luôn đúng)
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*), áp dụng định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-{{\log }_{b}}a \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có:
$S={{\left( \dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-6{{x}_{1}}-6{{x}_{2}}={{\left( \dfrac{-1}{-{{\log }_{b}}a} \right)}^{2}}-6\left( -{{\log }_{b}}a \right)=\dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}+6{{\log }_{b}}a$
Đặt $t={{\log }_{b}}a$ với $a>1,b>1$ thì ${{\log }_{b}}a>{{\log }_{b}}1=0\Rightarrow t>0,$ khi đó:
$S=\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+6t=\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+3t+3t\ge \sqrt[3]{\dfrac{1}{{{t}^{2}}}.3t.3t}=\sqrt[3]{9}$
$\Rightarrow {{S}_{\min }}=\sqrt[3]{9},$ dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{t}^{2}}}=3t\Leftrightarrow {{t}^{3}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}\Leftrightarrow a={{b}^{\sqrt{\dfrac{1}{3}}}}$
Đáp án C.