Google
Câu hỏi: Cho hai số thực b và c $\left( c>0 \right)$. Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0$. Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
A. ${{b}^{2}}=2c$
B. $c=2{{b}^{2}}$
C. $b=c$
D. ${{b}^{2}}=c$
A. ${{b}^{2}}=2c$
B. $c=2{{b}^{2}}$
C. $b=c$
D. ${{b}^{2}}=c$
Hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0$ là hai số phức liên hợp với nhau nên hai điểm A, B sẽ đối xứng nhau qua trục Ox.
Do đó, tam giác OAB cân tại O.
Vậy tam giác OAB vuông tại O.
Để ba điểm O, A, B tạo thành tam giác thì hai điểm A, B không nằm trên trục tung, trục hoành. Tức là nếu đặt $z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& x\ne 0 \\
& y\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Để phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0$ có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện $\left( * \right)$ thì ${{b}^{2}}-c<0$.
${{z}^{2}}+2bz+c=0\Leftrightarrow {{\left( z+b \right)}^{2}}+c-{{b}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{\left( z+b \right)}^{2}}={{b}^{2}}-c\Leftrightarrow z=-b\pm i\sqrt{c-{{b}^{2}}}$
Đặt $A\left( -b;\sqrt{c-{{b}^{2}}} \right)$ và $B\left( -b;-\sqrt{c-{{b}^{2}}} \right)$
Theo đề ta có:
$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{b}^{2}}-c+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}=c$
Do đó, tam giác OAB cân tại O.
Vậy tam giác OAB vuông tại O.
Để ba điểm O, A, B tạo thành tam giác thì hai điểm A, B không nằm trên trục tung, trục hoành. Tức là nếu đặt $z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& x\ne 0 \\
& y\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Để phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0$ có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện $\left( * \right)$ thì ${{b}^{2}}-c<0$.
${{z}^{2}}+2bz+c=0\Leftrightarrow {{\left( z+b \right)}^{2}}+c-{{b}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{\left( z+b \right)}^{2}}={{b}^{2}}-c\Leftrightarrow z=-b\pm i\sqrt{c-{{b}^{2}}}$
Đặt $A\left( -b;\sqrt{c-{{b}^{2}}} \right)$ và $B\left( -b;-\sqrt{c-{{b}^{2}}} \right)$
Theo đề ta có:
$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{b}^{2}}-c+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}=c$
Đáp án B.