Google
Câu hỏi: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện $a>b>1$ và $\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b}+\dfrac{1}{{{\log }_{b}}a}=\sqrt{2018}.$ Giá trị của biểu thức $P=\dfrac{1}{{{\log }_{ab}}b}-\dfrac{1}{{{\log }_{ab}}a}$ bằng
A. $P=\sqrt{2014}.$
B. $P=\sqrt{2016}.$
C. $P=\sqrt{2018}.$
D. $P=\sqrt{2020}.$
A. $P=\sqrt{2014}.$
B. $P=\sqrt{2016}.$
C. $P=\sqrt{2018}.$
D. $P=\sqrt{2020}.$
HD: Ta có $\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b}+\dfrac{1}{{{\log }_{b}}a}=\sqrt{2018}\Leftrightarrow {{\log }_{a}}b+\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b}=\sqrt{2018}\Leftrightarrow t+\dfrac{1}{t}=\sqrt{2018}$
Lại có $P=\dfrac{1}{{{\log }_{ab}}b}-\dfrac{1}{{{\log }_{ab}}a}={{\log }_{b}}ab-{{\log }_{a}}ab={{\log }_{b}}a-{{\log }_{a}}b=\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b}-{{\log }_{a}}b=\dfrac{1}{t}-t.$
Mà ${{\left( t+\dfrac{1}{t} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{t}-t \right)}^{2}}=4$ suy ra $P=\dfrac{1}{t}-t=\sqrt{{{\left( t+\dfrac{1}{t} \right)}^{2}}-4}=\sqrt{2018-4}=\sqrt{2014}.$
Lại có $P=\dfrac{1}{{{\log }_{ab}}b}-\dfrac{1}{{{\log }_{ab}}a}={{\log }_{b}}ab-{{\log }_{a}}ab={{\log }_{b}}a-{{\log }_{a}}b=\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b}-{{\log }_{a}}b=\dfrac{1}{t}-t.$
Mà ${{\left( t+\dfrac{1}{t} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{t}-t \right)}^{2}}=4$ suy ra $P=\dfrac{1}{t}-t=\sqrt{{{\left( t+\dfrac{1}{t} \right)}^{2}}-4}=\sqrt{2018-4}=\sqrt{2014}.$
Đáp án A.