Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện $a > b > 1$ và...

The Knowledge · 17/2/22

Câu hỏi: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện

a > b > 1

và

\frac{1}{\log_{a} b} + \frac{1}{\log_{b} a} = \sqrt{2018} .

Giá trị của biểu thức

P = \frac{1}{\log_{a b} b} - \frac{1}{\log_{a b} a}

bằng
A.

P = \sqrt{2014} .

B.

P = \sqrt{2016} .

C.

P = \sqrt{2018} .

D.

P = \sqrt{2020} .

HD: Ta có

\frac{1}{\log_{a} b} + \frac{1}{\log_{b} a} = \sqrt{2018} \Leftrightarrow \log_{a} b + \frac{1}{\log_{a} b} = \sqrt{2018} \Leftrightarrow t + \frac{1}{t} = \sqrt{2018}

Lại có

P = \frac{1}{\log_{a b} b} - \frac{1}{\log_{a b} a} = \log_{b} a b - \log_{a} a b = \log_{b} a - \log_{a} b = \frac{1}{\log_{a} b} - \log_{a} b = \frac{1}{t} - t .

Mà

{(t + \frac{1}{t})}^{2} - {(\frac{1}{t} - t)}^{2} = 4

suy ra

P = \frac{1}{t} - t = \sqrt{{(t + \frac{1}{t})}^{2} - 4} = \sqrt{2018 - 4} = \sqrt{2014} .

Đáp án A.

Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện a>b>1 và...