Cho hai số thực a, b thỏa mãn $\dfrac{1}{4}<b<a<1$. Tìm giá trị...

Ta có: ${{\left( b-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{b}^{2}}-b+\dfrac{1}{4}\ge 0\Rightarrow 0<b-\dfrac{1}{4}\le {{b}^{2}},\forall b\in \left( \dfrac{1}{4};1 \right)$
(đánh giá để đưa ${{\log }_{a}}\left( b-\dfrac{1}{4} \right)$ về ${{\log }_{a}}{{b}^{2}}$ )
Mà $\dfrac{1}{4}<a<1$ nên ${{\log }_{a}}\left( b-\dfrac{1}{4} \right)\ge {{\log }_{a}}{{b}^{2}}$
Do đó
$P\ge {{\log }_{a}}{{b}^{2}}-{{\log }_{\dfrac{a}{b}}}\sqrt{b}=2{{\log }_{a}}b-\dfrac{1}{2}{{\log }_{\dfrac{a}{b}}}b=\dfrac{2}{{{\log }_{b}}a}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{\log }_{b}}\dfrac{a}{b}}=\dfrac{2}{{{\log }_{b}}a}-\dfrac{1}{2\left( {{\log }_{b}}a-1 \right)}$
Đặt ${{\log }_{b}}a=t$. Do b < a < 1 nên ${{\log }_{b}}b>{{\log }_{b}}a>{{\log }_{b}}1\Rightarrow 0<t<1$
Suy ra $P\ge P\left( t \right)=\dfrac{2}{t}-\dfrac{1}{2\left( t-1 \right)}$ với 0 < t < 1.
Xét $P\left( t \right)=\dfrac{2}{t}-\dfrac{1}{2\left( t-1 \right)}$ trên (0; 1) ta có $P'\left( t \right)=\dfrac{-3{{t}^{2}}+8t-4}{2{{t}^{2}}{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{2}{3}\in \left( 0;1 \right) \\
& t=2\notin \left( 0;1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy $P\left( t \right)\ge \dfrac{9}{2}$ suy ra $\underset{t\in \left( 0;1 \right)}{\mathop{\min }} P\left( t \right)=\dfrac{9}{2}$ khi $t=\dfrac{2}{3}$
Do đó $P\ge P\left( t \right)\Rightarrow P\ge \dfrac{9}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{b}^{2}}=b-\dfrac{1}{4} \\
& {{\log }_{b}}a=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=\dfrac{1}{2} \\
& a={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{\dfrac{2}{3}}} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\dfrac{9}{2}.$