Cho hai số thực a, b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} > 1$ và ${{\log...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hai số thực a, b thỏa mãn

a^{2} + b^{2} > 1

và

\log_{a^{2} + b^{2}} (a + b) \geq 1

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = 2 a + 4 b - 3

là
A.

\sqrt{10}

.
B.

\frac{\sqrt{10}}{2}

.
C.

2 \sqrt{10}

.
D.

\frac{1}{\sqrt{10}}

.

Do

a^{2} + b^{2} > 1

nên từ

\log_{a^{2} + b^{2}} (a + b) \geq 1 \Leftrightarrow \log_{a^{2} + b^{2}} (a + b) \geq \log_{a^{2} + b^{2}} (a^{2} + b^{2})

\Leftrightarrow a + b \geq a^{2} + b^{2} > 1

.
Suy ra:

{\begin{aligned} a^{2} + b^{2} > 1 \\ {(a - \frac{1}{2})}^{2} + {(b - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{1}{2} \end{aligned}

Khi đó:

P = 2 a + 4 b - 3 = 2 (a - \frac{1}{2}) + 4 (b - \frac{1}{2}) \leq \sqrt{(2^{2} + 4^{2}) . [{(a - \frac{1}{2})}^{2} + {(b - \frac{1}{2})}^{2}]}

\leq \sqrt{20. (\frac{1}{2})} = \sqrt{10}

. (Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki)
Dấu "=" xảy ra khi:

{\begin{aligned} a^{2} + b^{2} > 1 \\ \frac{a - \frac{1}{2}}{2} = \frac{b - \frac{1}{2}}{4} > 0 \\ {(a - \frac{1}{2})}^{2} + {(b - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{10}} \\ b = \frac{1}{2} + \frac{2}{\sqrt{10}} \end{aligned}

.
Vậy

P_{max} = \sqrt{10}

khi

{\begin{aligned} a = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{10}} \\ b = \frac{1}{2} + \frac{2}{\sqrt{10}} \end{aligned}

Đáp án A.

Cho hai số thực a, b thỏa mãn a2+b2>1 và ${{\log...