Google
Câu hỏi: Cho hai số thực ${a}$, ${b}$ lớn hơn ${1}$ thỏa mãn ${a+b=2020}$. Gọi ${m}$, ${n}$ là hai nghiệm của phương trình ${\left(\log _{a} x\right)\left(\log _{b} x\right)-2 \log _{a} x-2=0}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${mn+4a}$ là
A. ${8076}$.
B. ${8077}$.
C. ${8078}$.
D. ${8079}$.
${\left(\log _{a} x\right)\left(\log _{b} x\right)-2 \log _{a} x-2=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{\log_ab}\log_a^2x-2\log_ax-2=0.\qquad(1)}$
Do ${a}$, ${b>1}$ nên ${\dfrac{1}{\log_a b}>0}$ nên (1) luôn có hai nghiệm.
Với ${m}$, ${n}$ là nghiệm của phương trình, ta có
${\log_a m+\log_an=2\log_ab\Leftrightarrow\log_a(mn)=\log_ab^2\Leftrightarrow mn=b^2.}$
Xét ${mn+4a=b^2+4a=b^2+4(2020-b)=b^2-4b+8080=(b-2)^2+8076\ge8076.}$
Như vậy giá trị nhỏ nhất của ${mn+4a}$ là ${8076}$. Dấu bằng xảy ra khi ${a=2018}$ và ${b=2}$.
A. ${8076}$.
B. ${8077}$.
C. ${8078}$.
D. ${8079}$.
Ta xét phương trình${\left(\log _{a} x\right)\left(\log _{b} x\right)-2 \log _{a} x-2=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{\log_ab}\log_a^2x-2\log_ax-2=0.\qquad(1)}$
Do ${a}$, ${b>1}$ nên ${\dfrac{1}{\log_a b}>0}$ nên (1) luôn có hai nghiệm.
Với ${m}$, ${n}$ là nghiệm của phương trình, ta có
${\log_a m+\log_an=2\log_ab\Leftrightarrow\log_a(mn)=\log_ab^2\Leftrightarrow mn=b^2.}$
Xét ${mn+4a=b^2+4a=b^2+4(2020-b)=b^2-4b+8080=(b-2)^2+8076\ge8076.}$
Như vậy giá trị nhỏ nhất của ${mn+4a}$ là ${8076}$. Dấu bằng xảy ra khi ${a=2018}$ và ${b=2}$.
Đáp án A.