Cho hai số thực $a, b > 1$ sao cho tồn tại số thực $x\left( x>0,x\ne...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho hai số thực

a, b > 1

sao cho tồn tại số thực

x (x > 0, x \neq 1)

thỏa mãn

a^{\log_{b}} x = b^{\log_{a} x^{2}}

. Khi biểu thức

P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln (a b)

đạt giá trị nhỏ nhất thì

a + b

thuộc khoảng nào dưới đây?
A.

(2; \frac{5}{2})

B.

(3; \frac{7}{2})

C.

(\frac{7}{2}; 4)

D.

(\frac{5}{2}; 3)

Từ

a^{\log_{b} x} = b^{\log_{a} x^{2}} \Rightarrow \log_{a} (a^{\log_{b} x}) = \log_{a} (b^{\log_{a} x^{2}})

\Rightarrow \log_{b} x = \log_{a} x^{2} . \log_{a} b = 2 \log_{a} x . \log_{a} b \Rightarrow \frac{\ln x}{\ln b} = 2. \frac{\ln x}{\ln a} . \frac{\ln b}{\ln a} \Rightarrow {(\ln a)}^{2} = 2 {(\ln b)}^{2}

Mà

a, b > 1 \Rightarrow \ln a > 0; \ln b > 0 \Rightarrow \ln a = \sqrt{2} \ln b

\Rightarrow P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln a - \ln b = 3 \ln^{2} b - (1 + \sqrt{2}) \ln b

= {(\sqrt{3} \ln b - \frac{1 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}})}^{2} - (\frac{1 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}) \geq - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{12}

Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow \ln b = \frac{1 + \sqrt{2}}{6} \Leftrightarrow b = e^{\frac{1 + \sqrt{2}}{6}} \Rightarrow \ln a = \frac{\sqrt{2} + 2}{6} \Rightarrow a = e^{\frac{2 + \sqrt{2}}{6}}

. Chọn B.

Đáp án B.

Cho hai số thực a,b>1 sao cho tồn tại số thực $x\left( x>0,x\ne...