Google
Câu hỏi: Cho hai số thực $a,b>1$ sao cho tồn tại số thực $x\left( x>0,x\ne 1 \right)$ thỏa mãn ${{a}^{{{\log }_{b}}}}x={{b}^{{{\log }_{a}}{{x}^{2}}}}$. Khi biểu thức $P={{\ln }^{2}}a+{{\ln }^{2}}b-\ln \left( ab \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $a+b$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$
B. $\left( 3;\dfrac{7}{2} \right)$
C. $\left( \dfrac{7}{2};4 \right)$
D. $\left( \dfrac{5}{2};3 \right)$
A. $\left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$
B. $\left( 3;\dfrac{7}{2} \right)$
C. $\left( \dfrac{7}{2};4 \right)$
D. $\left( \dfrac{5}{2};3 \right)$
Từ ${{a}^{{{\log }_{b}}x}}={{b}^{{{\log }_{a}}{{x}^{2}}}}\Rightarrow {{\log }_{a}}\left( {{a}^{{{\log }_{b}}x}} \right)={{\log }_{a}}\left( {{b}^{{{\log }_{a}}{{x}^{2}}}} \right)$
$\Rightarrow {{\log }_{b}}x={{\log }_{a}}{{x}^{2}}.{{\log }_{a}}b=2{{\log }_{a}}x.{{\log }_{a}}b\Rightarrow \dfrac{\ln x}{\ln b}=2.\dfrac{\ln x}{\ln a}.\dfrac{\ln b}{\ln a}\Rightarrow {{\left( \ln a \right)}^{2}}=2{{\left( \ln b \right)}^{2}}$
Mà $a,b>1\Rightarrow \ln a>0;\ln b>0\Rightarrow \ln a=\sqrt{2}\ln b$
$\Rightarrow P={{\ln }^{2}}a+{{\ln }^{2}}b-\ln a-\ln b=3{{\ln }^{2}}b-\left( 1+\sqrt{2} \right)\ln b$
$={{\left( \sqrt{3}\ln b-\dfrac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \right)}^{2}}-\left( \dfrac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \right)\ge -\dfrac{3+2\sqrt{2}}{12}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \ln b=\dfrac{1+\sqrt{2}}{6}\Leftrightarrow b={{e}^{\dfrac{1+\sqrt{2}}{6}}}\Rightarrow \ln a=\dfrac{\sqrt{2}+2}{6}\Rightarrow a={{e}^{\dfrac{2+\sqrt{2}}{6}}}$. Chọn B.
$\Rightarrow {{\log }_{b}}x={{\log }_{a}}{{x}^{2}}.{{\log }_{a}}b=2{{\log }_{a}}x.{{\log }_{a}}b\Rightarrow \dfrac{\ln x}{\ln b}=2.\dfrac{\ln x}{\ln a}.\dfrac{\ln b}{\ln a}\Rightarrow {{\left( \ln a \right)}^{2}}=2{{\left( \ln b \right)}^{2}}$
Mà $a,b>1\Rightarrow \ln a>0;\ln b>0\Rightarrow \ln a=\sqrt{2}\ln b$
$\Rightarrow P={{\ln }^{2}}a+{{\ln }^{2}}b-\ln a-\ln b=3{{\ln }^{2}}b-\left( 1+\sqrt{2} \right)\ln b$
$={{\left( \sqrt{3}\ln b-\dfrac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \right)}^{2}}-\left( \dfrac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \right)\ge -\dfrac{3+2\sqrt{2}}{12}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \ln b=\dfrac{1+\sqrt{2}}{6}\Leftrightarrow b={{e}^{\dfrac{1+\sqrt{2}}{6}}}\Rightarrow \ln a=\dfrac{\sqrt{2}+2}{6}\Rightarrow a={{e}^{\dfrac{2+\sqrt{2}}{6}}}$. Chọn B.
Đáp án B.