Google
Câu hỏi: Cho hai số thực $a,b>1$ sao cho luôn tồn tại số thực x $\left( 0<x\ne 1 \right)$ thỏa mãn ${{a}^{{{\log }_{b}}x}}={{b}^{{{\log }_{a}}{{x}^{2}}}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P={{\ln }^{2}}a+{{\ln }^{2}}b-\ln \left( ab \right)$.
A. $\dfrac{1-3\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{e}{2}$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $-\dfrac{3+2\sqrt{2}}{12}$.
A. $\dfrac{1-3\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{e}{2}$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $-\dfrac{3+2\sqrt{2}}{12}$.
Có $1<a,b,0<x\ne 1$
Có ${{a}^{{{\log }_{b}}x}}={{b}^{{{\log }_{a}}{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow {{a}^{{{\log }_{b}}a.{{\log }_{a}}x}}={{b}^{2{{\log }_{a}}x}}\Leftrightarrow {{a}^{{{\log }_{a}}x.{{\log }_{b}}a}}={{b}^{2{{\log }_{a}}x}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{{{\log }_{b}}a}}={{x}^{2{{\log }_{a}}b}}\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=2{{\log }_{a}}b\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=2\dfrac{1}{{{\log }_{b}}a}$
$\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{b}}a \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=\sqrt{2}$ (do $1<a,b$, nên ${{\log }_{b}}a>0$ ) $\Leftrightarrow a={{b}^{\sqrt{2}}}$.
Có $P={{\ln }^{2}}a+{{\ln }^{2}}b-\ln (ab)={{\left( \ln {{b}^{\sqrt{2}}} \right)}^{2}}+{{\ln }^{2}}b-\ln \left( {{b}^{\sqrt{2}}}b \right)$.
$=2{{\ln }^{2}}b+{{\ln }^{2}}b-\left( \sqrt{2}+1 \right)\ln b=3{{\ln }^{2}}b-\left( \sqrt{2}+1 \right)\ln b.$
Đặt $t=\ln b$, $t>0$ (do $b>1$ ).
Xét hàm số $y=f\left( t \right)=3{{t}^{2}}-\left( \sqrt{2}+1 \right)t$, với $t>0$.
Có ${f}'\left( t \right)=6t-\left( \sqrt{2}+1 \right)$, ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 6t-\left( \sqrt{2}+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow t=\dfrac{\sqrt{2}+1}{6}>0$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên có $\min P=\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=-\dfrac{3+2\sqrt{2}}{12}$ khi $t=\dfrac{\sqrt{2}+1}{6}$
Vậy $\min P=-\dfrac{3+2\sqrt{2}}{12}$
Có ${{a}^{{{\log }_{b}}x}}={{b}^{{{\log }_{a}}{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow {{a}^{{{\log }_{b}}a.{{\log }_{a}}x}}={{b}^{2{{\log }_{a}}x}}\Leftrightarrow {{a}^{{{\log }_{a}}x.{{\log }_{b}}a}}={{b}^{2{{\log }_{a}}x}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{{{\log }_{b}}a}}={{x}^{2{{\log }_{a}}b}}\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=2{{\log }_{a}}b\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=2\dfrac{1}{{{\log }_{b}}a}$
$\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{b}}a \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=\sqrt{2}$ (do $1<a,b$, nên ${{\log }_{b}}a>0$ ) $\Leftrightarrow a={{b}^{\sqrt{2}}}$.
Có $P={{\ln }^{2}}a+{{\ln }^{2}}b-\ln (ab)={{\left( \ln {{b}^{\sqrt{2}}} \right)}^{2}}+{{\ln }^{2}}b-\ln \left( {{b}^{\sqrt{2}}}b \right)$.
$=2{{\ln }^{2}}b+{{\ln }^{2}}b-\left( \sqrt{2}+1 \right)\ln b=3{{\ln }^{2}}b-\left( \sqrt{2}+1 \right)\ln b.$
Đặt $t=\ln b$, $t>0$ (do $b>1$ ).
Xét hàm số $y=f\left( t \right)=3{{t}^{2}}-\left( \sqrt{2}+1 \right)t$, với $t>0$.
Có ${f}'\left( t \right)=6t-\left( \sqrt{2}+1 \right)$, ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 6t-\left( \sqrt{2}+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow t=\dfrac{\sqrt{2}+1}{6}>0$
Bảng biến thiên
Vậy $\min P=-\dfrac{3+2\sqrt{2}}{12}$
Đáp án D.