Google
Câu hỏi: Cho hai số thực $a>1,b>1$. Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1$. Trong trường hợp biểu thức $S={{\left( \dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $a<b$.
B. $a\ge b$.
C. $ab=4$.
D. $ab=2$.
A. $a<b$.
B. $a\ge b$.
C. $ab=4$.
D. $ab=2$.
${{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\Leftrightarrow {{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}}}=b\Leftrightarrow \ln \left( {{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}}} \right)=\ln b$
$\Leftrightarrow x\ln a+{{x}^{2}}\ln b=\ln b\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ln b+x\ln a-\ln b=0$
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \ln b\ne 0 \\
& {{\ln }^{2}}a+4{{\ln }^{2}}b\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$ luôn đúng.
Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi $a,b>1$. Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình đã cho.
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{-\ln a}{\ln b}=-{{\log }_{b}}a \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{-\ln b}{\ln b}=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có: $S={{\left( \dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}={{\left( \dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$
$={{\left( \dfrac{-1}{-{{\log }_{b}}a} \right)}^{2}}+4{{\log }_{b}}a=\dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}+4{{\log }_{b}}a$
Do $a,b>1\Rightarrow {{\log }_{b}}a>{{\log }_{b}}1=0$
Ta có:
$S=\dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}+4{{\log }_{b}}a=\dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}+2{{\log }_{b}}a+2{{\log }_{b}}a\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}.2{{\log }_{b}}a.2{{\log }_{b}}a}=3\sqrt[3]{4}$
$\Rightarrow {{S}_{\min }}=3\sqrt[3]{4}$.
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}=2{{\log }_{b}}a\Leftrightarrow \log _{b}^{3}a=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\Leftrightarrow a={{b}^{\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}}}$.
Ta có: ${{b}^{\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}}}<{{b}^{1}}=b\left( \text{do }b>1 \right)\Rightarrow a<b$.
$\Leftrightarrow x\ln a+{{x}^{2}}\ln b=\ln b\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ln b+x\ln a-\ln b=0$
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \ln b\ne 0 \\
& {{\ln }^{2}}a+4{{\ln }^{2}}b\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$ luôn đúng.
Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi $a,b>1$. Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình đã cho.
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{-\ln a}{\ln b}=-{{\log }_{b}}a \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{-\ln b}{\ln b}=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có: $S={{\left( \dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}={{\left( \dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$
$={{\left( \dfrac{-1}{-{{\log }_{b}}a} \right)}^{2}}+4{{\log }_{b}}a=\dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}+4{{\log }_{b}}a$
Do $a,b>1\Rightarrow {{\log }_{b}}a>{{\log }_{b}}1=0$
Ta có:
$S=\dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}+4{{\log }_{b}}a=\dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}+2{{\log }_{b}}a+2{{\log }_{b}}a\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}.2{{\log }_{b}}a.2{{\log }_{b}}a}=3\sqrt[3]{4}$
$\Rightarrow {{S}_{\min }}=3\sqrt[3]{4}$.
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}=2{{\log }_{b}}a\Leftrightarrow \log _{b}^{3}a=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\Leftrightarrow a={{b}^{\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}}}$.
Ta có: ${{b}^{\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}}}<{{b}^{1}}=b\left( \text{do }b>1 \right)\Rightarrow a<b$.
Đáp án A.