Google
Câu hỏi: Cho hai số thực $a>1,b>1$. Biết phương trình ${{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S={{\left( \dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$.
A. $3\sqrt[3]{4}$.
B. $4$
C. $3\sqrt[3]{2}$.
D. $\sqrt[3]{4}$.
A. $3\sqrt[3]{4}$.
B. $4$
C. $3\sqrt[3]{2}$.
D. $\sqrt[3]{4}$.
Ta có ${{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\Leftrightarrow x{{\log }_{b}}a+\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x{{\log }_{b}}a-1=0$
Do phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ nên theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-{{\log }_{b}}a \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $S=\dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}+4{{\log }_{b}}a$
Đặt $t={{\log }_{b}}a$, do $a>1,b>1\Rightarrow t>0$. Khi đó $S=\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+4t=\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+2t+2t\ge 3\sqrt[3]{4}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{1}{{{t}^{2}}}=2t\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$. Vậy $\min S=3\sqrt[3]{4}$
Do phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ nên theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-{{\log }_{b}}a \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $S=\dfrac{1}{\log _{b}^{2}a}+4{{\log }_{b}}a$
Đặt $t={{\log }_{b}}a$, do $a>1,b>1\Rightarrow t>0$. Khi đó $S=\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+4t=\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+2t+2t\ge 3\sqrt[3]{4}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{1}{{{t}^{2}}}=2t\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$. Vậy $\min S=3\sqrt[3]{4}$
Đáp án A.