Cho hai số phức...

The Knowledge · 17/12/21

Câu hỏi: Cho hai số phức

z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i .

Gọi

z

là số phức thỏa mãn

| 3 z - \sqrt{3} i | = \sqrt{3} .

Gọi

M, m

lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

T = | z | + | z - z_{1} | + | z - z_{2} |

. Tính mô-đun của số phức

w = M + m i .

A.

\frac{2 \sqrt{21}}{3} .

B.

\sqrt{13}

C.

\frac{4 \sqrt{3}}{3} .

D. 4

Ta có

x^{2} + {(y - \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} = \frac{1}{2} (C) .

Gọi

K, A, B

lần lượt là các điểm biểu diễn của

z, z_{1}, z_{2} .

Khi đó

T = O K + K A + K B .

Ta có

A, B, O

thuộc đường tròn

(C)

và tam giác

A B O

đều. Suy ra

m = 2 O A = 2.

Đẳng thức xảy ra khi

K

trùng với

O, A, B .

Gọi

K

thuộc cung

A B,

ta có

K A . K B = O A . B K + A B . O K \Leftrightarrow K A = K B + O K

suy ra

T 2 =\leq K A \leq \frac{4 \sqrt{3}}{3} .

Vậy

| w | = \sqrt{\frac{16.3}{9} + 4} = \frac{2 \sqrt{21}}{3} .

Đáp án A.