Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,{{z}_{2}}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i.$ Gọi $z$ là số phức thỏa mãn $\left| 3z-\sqrt{3}i \right|=\sqrt{3}.$ Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $T=\left| z \right|+\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|$. Tính mô-đun của số phức $\text{w}=M+mi.$
A. $\dfrac{2\sqrt{21}}{3}.$
B. $\sqrt{13}$
C. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$
D. 4
A. $\dfrac{2\sqrt{21}}{3}.$
B. $\sqrt{13}$
C. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$
D. 4
Ta có ${{x}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}\text{ }\left( C \right).$ Gọi $K,A,B$ lần lượt là các điểm biểu diễn của $z,{{z}_{1}},{{z}_{2}}.$ Khi đó $T=OK+KA+KB.$
Ta có $A,B,O$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ và tam giác $ABO$ đều. Suy ra $m=2OA=2.$ Đẳng thức xảy ra khi $K$ trùng với $O,A,B.$
Gọi $K$ thuộc cung $AB,$ ta có $KA.KB=OA.BK+AB.OK\Leftrightarrow KA=KB+OK$ suy ra $T2=\le KA\le \dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$ Vậy $\left| \text{w} \right|=\sqrt{\dfrac{16.3}{9}+4}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}.$
Ta có $A,B,O$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ và tam giác $ABO$ đều. Suy ra $m=2OA=2.$ Đẳng thức xảy ra khi $K$ trùng với $O,A,B.$
Gọi $K$ thuộc cung $AB,$ ta có $KA.KB=OA.BK+AB.OK\Leftrightarrow KA=KB+OK$ suy ra $T2=\le KA\le \dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$ Vậy $\left| \text{w} \right|=\sqrt{\dfrac{16.3}{9}+4}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}.$
Đáp án A.