Google
Câu hỏi: Cho hai số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left|z_1-3 i+5\right|=2$ và $\left|i z_2-1+2 i\right|=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left|2 i z_1+3 z_2\right|$.
A. $\sqrt{313}+8$.
B. $\sqrt{313}$.
C. $\sqrt{313}+2 \sqrt{5}$.
D. $\sqrt{313}+16$.
A. $\sqrt{313}+8$.
B. $\sqrt{313}$.
C. $\sqrt{313}+2 \sqrt{5}$.
D. $\sqrt{313}+16$.
Ta có $\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|.$
$T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right)-3i\left( i{{z}_{2}}-1+2i \right)-12-13i \right|$
$T=\left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right)-3i\left( i{{z}_{2}}-1+2i \right)-12-13i \right|\le \left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right)-3i\left( i{{z}_{2}}-1+2i \right) \right|+\left| -12-13i \right|$
$\le \left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right) \right|+\left| -3i\left( i{{z}_{2}}-1+2i \right) \right|+\sqrt{313}=2.2+3.4+\sqrt{313}=16+\sqrt{313}.$
Vậy giá trị lớn nhất của $T=\sqrt{313}+16.$
$T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right)-3i\left( i{{z}_{2}}-1+2i \right)-12-13i \right|$
$T=\left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right)-3i\left( i{{z}_{2}}-1+2i \right)-12-13i \right|\le \left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right)-3i\left( i{{z}_{2}}-1+2i \right) \right|+\left| -12-13i \right|$
$\le \left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right) \right|+\left| -3i\left( i{{z}_{2}}-1+2i \right) \right|+\sqrt{313}=2.2+3.4+\sqrt{313}=16+\sqrt{313}.$
Vậy giá trị lớn nhất của $T=\sqrt{313}+16.$
Đáp án D.