Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-9-12i...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn

| z_{1} - z_{2} - 9 - 12 i |

=3 và

| z_{1} - 3 - 20 i | = 7 - | z_{2} |

. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

P = | z_{1} + 2 z_{2} + 12 - 15 i |

. Khi đó giá trị

M^{2} - m^{2}

bằng
A. 220
B. 223.
C. 224
D. 225 .

Đặt

w = z_{1} - 9 - 12 i \Rightarrow {\begin{aligned} | w- z_{2} | = 3 \\ | w+6-8i | + | z_{2} | = 7 \end{aligned}

Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức w và z2. Khi đó ta có

{\begin{aligned} A B = 3 \\ A M + O B = 7 \end{aligned}

với điểm M(-6;8).

\Rightarrow A B + A M + O B = 10 = O M

. Suy ra A, B thuộc đoạn OM.
Suy ra

\vec{O A} = x \vec{O M} = (- 6 x; 8 x)

và

\vec{O B} = y \vec{O M} = (- 6 y; 8 y)

với

x, y \in [0; 1]

Đặt

{\begin{aligned} w = - 6 x + 8 x i \\ z_{2} = - 6 y + 8 y i \end{aligned}

với

x, y \in [0; 1]

Khi đó

P = | - 6 x + 8 x i - 12 y + 16 y i + 21 - 3 i |

Hay

P = \sqrt{{(- 6 x - 12 y + 21)}^{2} + {(8 x + 16 y - 3)}^{2}}

. Đặt

t = x + 2 y, t \in [0; 3]

Khi đó

P = \sqrt{100 t^{2} - 300 t + 450}

Khảo sát hàm số

f (t) = 100 t^{2} - 300 t + 450

trên đoạn

[0; 3]

ta được

max_{[0; 3]} f (t) = f (0) = 450, \underset{}{\underset{[0; 3]}{m i n} f (t) = f (\frac{3}{2})} = 225

Từ đó suy ra

M = \sqrt{450}, m = 15

. Vậy

M^{2} - m^{2} = 225.

Đáp án D.