Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-9-12i...

Đặt $\text{w}={{z}_{1}}-9-12i\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| \text{w-}{{z}_{2}} \right|=3 \\
& \left| \text{w+6-8i} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=7 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức w và z2​. Khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB=3 \\
& AM+OB=7 \\
\end{aligned} \right.$ với điểm M(-6;8).
$\Rightarrow AB+AM+OB=10=OM$. Suy ra A, B thuộc đoạn OM.
Suy ra $\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OM}=(-6x;8x)$ và $\overrightarrow{OB}=y\overrightarrow{OM}=(-6y;8y)$ với $x,y\in \left[ 0;1 \right]$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& \text{w}=-6x+8xi \\
& {{z}_{2}}=-6y+8yi \\
\end{aligned} \right. $với $ x,y\in \left[ 0;1 \right]$
Khi đó $P=\left| -6x+8xi-12y+16yi+21-3i \right|$
Hay $P=\sqrt{{{(-6x-12y+21)}^{2}}+{{(8x+16y-3)}^{2}}}$. Đặt $t=x+2y,t\in \left[ 0;3 \right]$
Khi đó $P=\sqrt{100{{t}^{2}}-300t+450}$
Khảo sát hàm số $f(t)=100{{t}^{2}}-300t+450$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ ta được
$\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f(t)=f(0)=450,\underset{{}}{\mathop{\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{min}} f\left( t \right)=f\left( \dfrac{3}{2} \right)}} =225$
Từ đó suy ra $M=\sqrt{450},m=15$. Vậy ${{M}^{2}}-{{m}^{2}}=225.$