T

Cho hai số phức z1, z2 khác 0 thỏa mãn...

Câu hỏi: Cho hai số phức z1​, z2​ khác 0 thỏa mãn $\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}$ là số thuần ảo và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=10$. Giá trị lớn của $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ bằng
A. 10
B. $10\sqrt{2}$
C. $10\sqrt{3}$
D. 20
Phương pháp:
- Viết z1​ = kiz2​ (k R), thay vào đẳng thức bài cho tìm $\left| {{z}_{2}} \right|,\left| {{z}_{1}} \right|$ theo k .
- Tìm GTLN của $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ và kết luận.
Cách giải:
Ta có : $\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}$ là số thuần ảo nên ta viết lại $\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=ki\Leftrightarrow {{z}_{1}}=ki{{z}_{2}}$
Khi đó $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=10\Leftrightarrow \left| ki{{z}_{2}}-{{z}_{2}} \right|=10\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}\left( -1+ki \right) \right|=10\Leftrightarrow {{z}_{2}}=\dfrac{10}{\left| -1+ki \right|}=\dfrac{10}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}$
$\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| ki \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| k \right|.\dfrac{10}{{{k}^{2}}+1}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\dfrac{10\left| k \right|}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}=\dfrac{10\left( \left| k \right|+1 \right)}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}$
Xét $y=f(t)=\dfrac{10(t+1)}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}\Rightarrow 10(t+1)=y\sqrt{{{t}^{2}}+1}\Leftrightarrow 100{{(t+1)}^{2}}={{y}^{2}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 100\left( {{t}^{2}}+2t+1 \right)={{y}^{2}}{{t}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow \left( {{y}^{2}}-100 \right){{t}^{2}}+{{y}^{2}}-100=0 \\
& \\
\end{aligned}$
Phương trình có nghiệm $\Delta '={{100}^{2}}-{{\left( {{y}^{2}}-100 \right)}^{2}}={{y}^{2}}\left( 200-{{y}^{2}} \right)\ge 0\Leftrightarrow -10\sqrt{2}\le y\le 10\sqrt{2}$
Vậy $\max y=10\sqrt{2}$ khi t = 1 hay k = ±1.
Đáp án B.
 

Quảng cáo

Back
Top