Cho hai số phức $z, w$ thỏa mãn $z + w = 3 + 4 i$ và $\left| z-w...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hai số phức

z, w

thỏa mãn

z + w = 3 + 4 i

và

| z - w | = 9

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T = | z | + | w |

.
A. 4.
B. 14.
C.

\sqrt{176} .

D.

\sqrt{106} .

Giả sử

z = x + y i (x, y \in R)

Từ

z + w = 3 + 4 i \Rightarrow w = (3 - x) + (4 - y) i

.
Ta có

z - w = (2 x - 3) + (2 y - 4) i \Rightarrow | z - w | = \sqrt{{(2 x - 3)}^{2} + {(2 y - 4)}^{2}} = 9

\Rightarrow 4 x^{2} + 4 y^{2} - 12 x - 16 y - 56 = 0 \Rightarrow 2 x^{2} + 2 y^{2} - 6 x - 8 y - 28 = 0 (1)

Ta có

T = | z | + | w | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(3 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2}}

.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

T^{2} \leq 2 [(x^{2} + y^{2}) + {(3 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2}]

\Rightarrow T^{2} \leq 2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - 6 x - 8 y + 25) = 2 (28 + 25) \Rightarrow T \leq \sqrt{106}

.
Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = {(3 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2} \Leftrightarrow 25 - 6 x - 8 y = 0 \Leftrightarrow y = \frac{25 - 6 x}{8}

.
Thế vào (1) ta được

x^{2} + {(\frac{25 - 6 x}{8})}^{2} - 3 x - 4. \frac{25 - 6 x}{8} - 14 = 0

\Leftrightarrow 64 x^{2} + (36 x^{2} - 300 x + 25^{2}) - 192 x - 32 (25 - 6 x) - 896 = 0

\Leftrightarrow 100 x^{2} - 300 x - 1071 = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = \frac{51}{10} \Rightarrow y = - \frac{7}{10} \\ x = - \frac{21}{10} \Rightarrow y = \frac{47}{10} \end{aligned}

Vậy

T_{max} = \sqrt{106}

đạt được chẳng hạn khi

z = \frac{51}{10} - \frac{7}{10} i, w = - \frac{21}{10} + \frac{47}{10} i

.

Đáp án D.

Cho hai số phức z,w thỏa mãn z+w=3+4i và $\left| z-w...