Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $z+w=3+4i$ và $\left| z-w...

Giả sử $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
Từ $z+w=3+4i\Rightarrow w=\left( 3-x \right)+\left( 4-y \right)i$.
Ta có $z-w=\left( 2x-3 \right)+\left( 2y-4 \right)i\Rightarrow \left| z-w \right|=\sqrt{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-4 \right)}^{2}}}=9$
$\Rightarrow 4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-12x-16y-56=0\Rightarrow 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y-28=0\left( 1 \right)$
Ta có $T=\left| z \right|+\left| w \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}}$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có ${{T}^{2}}\le 2\left[ \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}} \right]$
$\Rightarrow {{T}^{2}}\le 2\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y+25 \right)=2\left( 28+25 \right)\Rightarrow T\le \sqrt{106}$.
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}\Leftrightarrow 25-6x-8y=0\Leftrightarrow y=\dfrac{25-6x}{8}$.
Thế vào (1) ta được ${{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{25-6x}{8} \right)}^{2}}-3x-4.\dfrac{25-6x}{8}-14=0$
$\Leftrightarrow 64{{x}^{2}}+\left( 36{{x}^{2}}-300x+{{25}^{2}} \right)-192x-32\left( 25-6x \right)-896=0$
$\Leftrightarrow 100{{x}^{2}}-300x-1071=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{51}{10}\Rightarrow y=-\dfrac{7}{10} \\
& x=-\dfrac{21}{10}\Rightarrow y=\dfrac{47}{10} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{T}_{\max }}=\sqrt{106}$ đạt được chẳng hạn khi $z=\dfrac{51}{10}-\dfrac{7}{10}i,w=-\dfrac{21}{10}+\dfrac{47}{10}i$.