Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $z+3w=2+2\sqrt{3}i$ và $\left| z-w...

Ta có: $z+3w=2+2\sqrt{3}i\Rightarrow \left| z+3w \right|=\left| 2+2\sqrt{3}i \right|=4$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\left| z+3w \right|}^{2}}=16 \\
{{\left| z-w \right|}^{2}}=4 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( z+3w \right).\left( \bar{z}+3\bar{w} \right)=16 \\
\left( z-w \right).\left( \bar{z}-\bar{w} \right)=4 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\left| z \right|}^{2}}+9{{\left| w \right|}^{2}}+3\left( \bar{z}w+z\bar{w} \right)=16 \\
{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left| w \right|}^{2}}-\left( \bar{z}w+z\bar{w} \right)=4 \\
\end{array} \right.\Rightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+3{{\left| w \right|}^{2}}=7$
Áp dụng bất đẳng thức Co-si
$\left( {{\left| z \right|}^{2}}+{{\left| w \right|}^{2}} \right)\le \left( 1+\dfrac{1}{3} \right).\left( {{\left| z \right|}^{2}}+3{{\left| w \right|}^{2}} \right)=\dfrac{28}{3}$ $\Rightarrow \left| z \right|+\left| w \right|\le \dfrac{2\sqrt{21}}{3}$. Vậy ${{P}_{\max }}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$
Một số kiến thức cần dùng
Bất đẳng thức Cô-si: $\text{ax}+by\le \sqrt{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}$.
Đẳng thức: ${{\left| z \right|}^{2}}=z.\bar{z}$.