Google
Câu hỏi: Cho hai số phức $z$, $w$ thỏa mãn $\left| z-3\sqrt{2} \right|=\sqrt{2}$, $\left| w-4\sqrt{2}i \right|=2\sqrt{2}$. Biết rằng $\left| z-w \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $z={{z}_{0}}$ và $w={{w}_{0}}$. Môđun của số phức $3{{z}_{0}}-{{w}_{0}}$ bằng
A. $1$.
B. $6\sqrt{2}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $4\sqrt{2}$.
Gọi $M$, $N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z$, $w$, suy ra $M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm $I\left( 3\sqrt{2};0 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{2}$ ; $N$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm $J\left( 0;4\sqrt{2} \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=2\sqrt{2}$.
Khi đó $\left| z-w \right|=MN$.
Gọi $A$, $B$ lần lượt là giao điểm của đoạn $IJ$ với đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$, $\left( {{C}_{2}} \right)$.
Với $M\in \left( {{C}_{1}} \right)$, $N\in \left( {{C}_{2}} \right)$ ta luôn có $MN\ge AB=IJ-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=2\sqrt{2}$, suy ra $\left| z-w \right|=MN$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt{2}$ khi $M\equiv A$, $N\equiv B$.
Ta có $IA={{R}_{1}}=\sqrt{2}$, $IJ=5\sqrt{2}$ $\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{IJ}\Rightarrow A\left( \dfrac{12\sqrt{2}}{5};\dfrac{4\sqrt{2}}{5} \right)$.
Do $JB={{R}_{2}}=2\sqrt{2}$, $IJ=5\sqrt{2}$ $\Rightarrow \overrightarrow{JB}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{JI}\Rightarrow B\left( \dfrac{6\sqrt{2}}{5};\dfrac{12\sqrt{2}}{5} \right)$
Vậy ${{z}_{0}}=\dfrac{12\sqrt{2}}{5}+\dfrac{4\sqrt{2}}{5}i$, ${{w}_{0}}=\dfrac{6\sqrt{2}}{5}+\dfrac{12\sqrt{2}}{5}i$, suy ra $3{{z}_{0}}-{{w}_{0}}=6\sqrt{2}$.
Vậy $\left| 3{{z}_{0}}-{{w}_{0}} \right|=6\sqrt{2}$.
A. $1$.
B. $6\sqrt{2}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $4\sqrt{2}$.
Gọi $M$, $N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z$, $w$, suy ra $M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm $I\left( 3\sqrt{2};0 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{2}$ ; $N$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm $J\left( 0;4\sqrt{2} \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=2\sqrt{2}$.
Khi đó $\left| z-w \right|=MN$.
Với $M\in \left( {{C}_{1}} \right)$, $N\in \left( {{C}_{2}} \right)$ ta luôn có $MN\ge AB=IJ-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=2\sqrt{2}$, suy ra $\left| z-w \right|=MN$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt{2}$ khi $M\equiv A$, $N\equiv B$.
Ta có $IA={{R}_{1}}=\sqrt{2}$, $IJ=5\sqrt{2}$ $\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{IJ}\Rightarrow A\left( \dfrac{12\sqrt{2}}{5};\dfrac{4\sqrt{2}}{5} \right)$.
Do $JB={{R}_{2}}=2\sqrt{2}$, $IJ=5\sqrt{2}$ $\Rightarrow \overrightarrow{JB}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{JI}\Rightarrow B\left( \dfrac{6\sqrt{2}}{5};\dfrac{12\sqrt{2}}{5} \right)$
Vậy ${{z}_{0}}=\dfrac{12\sqrt{2}}{5}+\dfrac{4\sqrt{2}}{5}i$, ${{w}_{0}}=\dfrac{6\sqrt{2}}{5}+\dfrac{12\sqrt{2}}{5}i$, suy ra $3{{z}_{0}}-{{w}_{0}}=6\sqrt{2}$.
Vậy $\left| 3{{z}_{0}}-{{w}_{0}} \right|=6\sqrt{2}$.
Đáp án B.