Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}+4 \right|=\left|...

Ta có: $\left| w-3-i \right|=\sqrt{5}$ nên tập hợp các điểm biểu diễn $w$ là đường tròn tâm $I\left( 3;1 \right),R=\sqrt{5}$. Đặt $M\left( z \right)=M\left( x;y \right)$ và $N\left( w \right)$. Mặt khác:
$\begin{aligned}
& \left| {{z}^{2}}+4 \right|=\left| {{z}^{2}}+\left( 5-2i \right)z-10i \right|\Leftrightarrow \left| z+2i \right|\left| z-2i \right|=\left| z-2i \right|\left| z+5 \right| \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z-2i \right|=0 \\
& \left| z+2i \right|=\left| z+5 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=2i\left( 1 \right) \\
& \left| z+2i \right|=\left| z+5 \right|\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$
+ Trường hợp 1: nếu $z=2i$ thì $M\left( z \right)=M\left( 0;2 \right)$. Áp dụng công thức ta có: $M{{N}_{\min }}=MI-R=\sqrt{10}-\sqrt{5}$.
+ Trường hợp 2: nếu $\left| z+2i \right|=\left| z+5 \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}={{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow 10x-4y+21=0\left( d \right).$ Thay vào ta thấy đường thẳng $\left( d \right)$ và đường tròn $\left( I;\sqrt{5} \right)$ không có điểm chung nên: $M{{N}_{\min }}=d\left( I,\left( d \right) \right)-R=\dfrac{\left| 10.3-4+21 \right|}{\sqrt{100+16}}-\sqrt{5}=\dfrac{47}{\sqrt{116}}-\sqrt{5}$.
Kết hợp hai trường hợp trên ta có ${{\left| z-w \right|}_{\min }}=\sqrt{10}-\sqrt{5}$.