Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}+4 \right|=\left|...

Ta có: $|w-3-i|=\sqrt{5}$ nên tập hợp các điểm biểu diễn $w$ là đường tròn tâm $I(3;1),R=\sqrt{5}$. Đặt $M\left(z\right)=M(x;y)$ và $N\left(w\right)$. Mặt khác:
$\begin{array}{rl}& |z^2+4|=|z^2+(5-2i)z-10i|\iff |z+2i||z-2i|=|z-2i||z+5|\\ & \iff [\begin{array}{rl}& |z-2i|=0\\ & |z+2i|=|z+5|\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& z=2i\left(1\right)\\ & |z+2i|=|z+5|\left(2\right)\end{array}.\end{array}$
+ Trường hợp 1: nếu $z=2i$ thì $M\left(z\right)=M(0;2)$. Áp dụng công thức ta có: $M{N}_{min}=MI-R=\sqrt{10}-\sqrt{5}$.
+ Trường hợp 2: nếu $|z+2i|=|z+5|\iff x^2+{(y+2)}^2={(x+5)}^2+y^2\iff 10x-4y+21=0\left(d\right).$ Thay vào ta thấy đường thẳng $\left(d\right)$ và đường tròn $(I;\sqrt{5})$ không có điểm chung nên: $M{N}_{min}=d(I,\left(d\right))-R={\displaystyle \frac{|10.3-4+21|}{\sqrt{100+16}}}-\sqrt{5}={\displaystyle \frac{47}{\sqrt{116}}}-\sqrt{5}$.
Kết hợp hai trường hợp trên ta có ${|z-w|}_{min}=\sqrt{10}-\sqrt{5}$.