Google
Câu hỏi: Cho hai số phức z, w thỏa mãn $\left| z-1-i \right|=1$ và $\left| \bar{w}-2-3i \right|=2.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z-w \right|$.
A. $\sqrt{13}-3.$
B. $\sqrt{17}-3.$
C. $\sqrt{17}+3.$
D. $\sqrt{13}+3.$
A. $\sqrt{13}-3.$
B. $\sqrt{17}-3.$
C. $\sqrt{17}+3.$
D. $\sqrt{13}+3.$
Điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left| x+yi-1-i \right|=1$
$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;1 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=1$.
Điểm $N\left( {x}';{y}' \right)$ biểu diễn số phức $\text{w}={x}'+{y}'.i\left( {x}',{y}'\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left| {x}'-{y}'.i-2-3i \right|=2$
$\Rightarrow N$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 2;-3 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=2$.
Như vậy $\left| z-\text{w} \right|=MN$. Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 1;-4 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{17}>{{R}_{2}}+{{R}_{2}}$
$\Rightarrow \left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ ở ngoài nhau $\Rightarrow M{{N}_{\min }}={{I}_{1}}{{I}_{2}}-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=\sqrt{17}-3$.
$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;1 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=1$.
Điểm $N\left( {x}';{y}' \right)$ biểu diễn số phức $\text{w}={x}'+{y}'.i\left( {x}',{y}'\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left| {x}'-{y}'.i-2-3i \right|=2$
$\Rightarrow N$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 2;-3 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=2$.
Như vậy $\left| z-\text{w} \right|=MN$. Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 1;-4 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{17}>{{R}_{2}}+{{R}_{2}}$
$\Rightarrow \left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ ở ngoài nhau $\Rightarrow M{{N}_{\min }}={{I}_{1}}{{I}_{2}}-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=\sqrt{17}-3$.
Đáp án B.