Google
Câu hỏi: Cho hai số phức z, w thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& \left| z-3-2i \right|\le 1 \\
& \left| w+1+2i \right|\le \left| w-2-i \right| \\
\end{aligned} \right. $. Tìm giá trị nhỏ nhất $ {{P}_{\min }} $ của biểu thức $ P=\left| z-w \right|$
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{3\sqrt{2}-2}{2}$
B. ${{P}_{\min }}=\dfrac{3\sqrt{2}-2}{2}$
C. ${{P}_{\min }}=\sqrt{2}+1$
D. ${{P}_{\min }}=\dfrac{5\sqrt{2}-2}{2}$
Giả sử $z=a+bi; w=x+yi \left( a, b, x, y\in \mathbb{R} \right)$
Ta có: $\left| z-3-2i \right|\le 1\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}\le 1$. Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là hình tròn tâm $I\left( 3; 2 \right)$, bán kính $R=1$
$\left| w+1+2i \right|\le \left| w-2-i \right|\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\le {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x+y\le 0$
Suy ra tập hợp điểm N biểu diễn số phức w là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng $\Delta :x+y=0$
Ta có $d\left( I, \Delta \right)=\dfrac{5}{\sqrt{2}}; \left| z-w \right|=MN\ge d\left( I, \Delta \right)-R=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-1$
Suy ra ${{P}_{\min }}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-1$
& \left| z-3-2i \right|\le 1 \\
& \left| w+1+2i \right|\le \left| w-2-i \right| \\
\end{aligned} \right. $. Tìm giá trị nhỏ nhất $ {{P}_{\min }} $ của biểu thức $ P=\left| z-w \right|$
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{3\sqrt{2}-2}{2}$
B. ${{P}_{\min }}=\dfrac{3\sqrt{2}-2}{2}$
C. ${{P}_{\min }}=\sqrt{2}+1$
D. ${{P}_{\min }}=\dfrac{5\sqrt{2}-2}{2}$
Ta có: $\left| z-3-2i \right|\le 1\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}\le 1$. Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là hình tròn tâm $I\left( 3; 2 \right)$, bán kính $R=1$
$\left| w+1+2i \right|\le \left| w-2-i \right|\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\le {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x+y\le 0$
Suy ra tập hợp điểm N biểu diễn số phức w là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng $\Delta :x+y=0$
Ta có $d\left( I, \Delta \right)=\dfrac{5}{\sqrt{2}}; \left| z-w \right|=MN\ge d\left( I, \Delta \right)-R=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-1$
Suy ra ${{P}_{\min }}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-1$
Đáp án D.