Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}$ $,{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2$ và $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{10}$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\left| \left( 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 1+\sqrt{3}i \right)+1-\sqrt{3}i \right|$
A. $6$.
B. $10$.
C. $18$.
D. $34$.
A. $6$.
B. $10$.
C. $18$.
D. $34$.
Đặt ${{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=c+di$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}.$
Vì $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=4\Rightarrow $ ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{d}^{2}}=4$.
Mặt khác ${{(a+c)}^{2}}+{{(b+d)}^{2}}=10$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ac+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}+2bd+{{d}^{2}}=10\Rightarrow ac+bd=1$.
Ta có $2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}=(2a-c)+(2b-d)i$ nên
${{\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{(2a-c)}^{2}}+{{(2b-d)}^{2}}=4({{a}^{2}}+{{b}^{2}})+({{c}^{2}}+{{d}^{2}})-4(ac+bd)=16\Rightarrow \left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$.
Áp dụng bất đẳng thức $\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|$, ta có
$P=\left| \left( 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 1+\sqrt{3}i \right)+1-\sqrt{3}i \right|\le \left| \left( 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 1+\sqrt{3}i \right) \right|+\left| 1-\sqrt{3}i \right|\le 4.2+2=10$.
Vậy $\max P=10$.
Vì $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=4\Rightarrow $ ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{d}^{2}}=4$.
Mặt khác ${{(a+c)}^{2}}+{{(b+d)}^{2}}=10$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ac+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}+2bd+{{d}^{2}}=10\Rightarrow ac+bd=1$.
Ta có $2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}=(2a-c)+(2b-d)i$ nên
${{\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{(2a-c)}^{2}}+{{(2b-d)}^{2}}=4({{a}^{2}}+{{b}^{2}})+({{c}^{2}}+{{d}^{2}})-4(ac+bd)=16\Rightarrow \left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$.
Áp dụng bất đẳng thức $\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|$, ta có
$P=\left| \left( 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 1+\sqrt{3}i \right)+1-\sqrt{3}i \right|\le \left| \left( 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 1+\sqrt{3}i \right) \right|+\left| 1-\sqrt{3}i \right|\le 4.2+2=10$.
Vậy $\max P=10$.
Đáp án B.