Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}$ và $\left| {{z}_{1}}+4-4i \right|=3\sqrt{2}-\left| {{z}_{2}} \right|$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{2}}+1+2i \right|$, giá trị ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}$ bằng
A. $50$.
B. $54$.
C. $34$.
D. $\dfrac{99}{2}$.
Gọi $A, B$ lần lượt là điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB=\sqrt{2} \\
& \left| {{z}_{2}} \right|=OB \\
\end{aligned} \right. $; $ C\left( -4;4 \right) $ là điểm biểu diễn của số phức $ -4+4i$.
Có $\left| {{z}_{1}}+4-4i \right|=3\sqrt{2}-\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow AC=3\sqrt{2}-OB\Leftrightarrow AC+OB=3\sqrt{2}$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OB+AC+AB=4\sqrt{2} \\
& OC=4\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OB+BA+AC=OC $ $ \Rightarrow O,B,A,C $ theo thứ tự nằm trên đoạn $ OC$.
Điểm $D\left( -1;-2 \right)$ biểu diễn cho số phức $-1-2i$.
$\Rightarrow P=\left| {{z}_{2}}+1+2i \right|=BD\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{P}_{\min }}=OD=\sqrt{5} \\
& {{P}_{\max }}=DN=\sqrt{29} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{M}^{2}}+{{m}^{2}}=34$.
$({{P}_{\max }}$ khi $A$ trùng $C$, $B$ trùng với $N\left( -3;3 \right)$ $)$.
A. $50$.
B. $54$.
C. $34$.
D. $\dfrac{99}{2}$.
& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB=\sqrt{2} \\
& \left| {{z}_{2}} \right|=OB \\
\end{aligned} \right. $; $ C\left( -4;4 \right) $ là điểm biểu diễn của số phức $ -4+4i$.
Có $\left| {{z}_{1}}+4-4i \right|=3\sqrt{2}-\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow AC=3\sqrt{2}-OB\Leftrightarrow AC+OB=3\sqrt{2}$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OB+AC+AB=4\sqrt{2} \\
& OC=4\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OB+BA+AC=OC $ $ \Rightarrow O,B,A,C $ theo thứ tự nằm trên đoạn $ OC$.
Điểm $D\left( -1;-2 \right)$ biểu diễn cho số phức $-1-2i$.
$\Rightarrow P=\left| {{z}_{2}}+1+2i \right|=BD\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{P}_{\min }}=OD=\sqrt{5} \\
& {{P}_{\max }}=DN=\sqrt{29} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{M}^{2}}+{{m}^{2}}=34$.
$({{P}_{\max }}$ khi $A$ trùng $C$, $B$ trùng với $N\left( -3;3 \right)$ $)$.
Đáp án C.