Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-3-3i \right|=2$ và $\left| {{z}_{2}}-4-2i \right|=\left| {{z}_{2}}+2i \right|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}-3-2i \right|+\left| {{z}_{2}}+3+i \right|$ bằng
A. $3\sqrt{5}+2\sqrt{2}+2$.
B. $3\sqrt{5}+2\sqrt{2}-2$.
C. $3\sqrt{5}+\sqrt{2}-2$.
D. $3\sqrt{5}-\sqrt{2}+2$.
A. $3\sqrt{5}+2\sqrt{2}+2$.
B. $3\sqrt{5}+2\sqrt{2}-2$.
C. $3\sqrt{5}+\sqrt{2}-2$.
D. $3\sqrt{5}-\sqrt{2}+2$.
Đặt $M$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$, khi đó $M$ thuộc $\left( C \right):\left\{ \begin{matrix}
I\left( 3;3 \right) \\
R=2 \\
\end{matrix} \right.$.
Đặt $N$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$, khi đó $N$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$ với $A\left( 4;2 \right)$, $B\left( 0;-2 \right)$ $\Rightarrow d:x+y-2=0$.
Khi đó $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}-3-2i \right|+\left| {{z}_{2}}+3+i \right|=NM+NC+ND$ với $C\left( 3;2 \right)$, $D\left( -3;-1 \right)$.
Ta có $CD:x-2y+1=0$. Gọi $E=CD\cap d\Rightarrow E\left( 1;1 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{EI}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}$ $\Rightarrow $ $E$ là hình chiếu của $I$ trên $d$.
Vậy $P=NM+NC+ND=NI+NC+ND-R$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $N\equiv E$.
$\Rightarrow {{P}_{\min }}=CD+NI-R=3\sqrt{5}+2\sqrt{2}-2$.
I\left( 3;3 \right) \\
R=2 \\
\end{matrix} \right.$.
Đặt $N$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$, khi đó $N$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$ với $A\left( 4;2 \right)$, $B\left( 0;-2 \right)$ $\Rightarrow d:x+y-2=0$.
Khi đó $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}-3-2i \right|+\left| {{z}_{2}}+3+i \right|=NM+NC+ND$ với $C\left( 3;2 \right)$, $D\left( -3;-1 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{EI}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}$ $\Rightarrow $ $E$ là hình chiếu của $I$ trên $d$.
Vậy $P=NM+NC+ND=NI+NC+ND-R$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $N\equiv E$.
$\Rightarrow {{P}_{\min }}=CD+NI-R=3\sqrt{5}+2\sqrt{2}-2$.
Đáp án B.