Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+3+2i \right|=1$ và $\left| {{z}_{2}}+2-i \right|=1$. Xét các số phức $z=a+bi, (a,b\in R)$ thỏa mãn $2a-b=0$ Khi biểu thức $T=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị biểu thức $P=3{{a}^{2}}-{{b}^{3}}$ bằng
A. $5$.
B. $9$.
C. $11$.
D. $-5$.
A. $5$.
B. $9$.
C. $11$.
D. $-5$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& {{w}_{1}}={{z}_{1}} \\
& {{w}_{2}}=2{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\left| {{z}_{1}}+3+2i \right|=1\Leftrightarrow \left| {{w}_{1}}+3+2i \right|=1$. Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức ${{w}_{1}}$, khi đó $M$ thuộc đường tròn $({{C}_{1}})$ có tâm ${{I}_{1}}(-3;-2),R=1.$
Ta có: $\left| {{z}_{2}}+2-i \right|=1\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{2}}+4-2i \right|=2$. Gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức ${{w}_{2}}$, khi đó $N$ thuộc đường tròn $({{C}_{2}})$ có tâm ${{I}_{1}}(-4;2),R=2.$
Xét số phức $z=x+yi$ có điểm biểu diễn là $A(x;y)$, $A\in \left( \Delta \right):2x-y=0$
Tìm $A\in \left( \Delta \right)$ sao cho $T=AM+AN$ đạt giá trị nhỏ nhất.
$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $A={{I}_{2}}{{I}_{3}}\cap \left( \Delta \right)$ với ${{I}_{3}}$ đối xứng với ${{I}_{1}}$ qua $\left( \Delta \right)$.
Khi đó ${{I}_{1}}{{I}_{3}}$ $\left\{ \begin{aligned}
& qua {{I}_{1}}(-3;-2) \\
& \bot \left( \Delta \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow x+2y+7=0$
Gọi $H={{I}_{1}}{{I}_{3}}\cap \left( \Delta \right)\Rightarrow H\left( \dfrac{-7}{5};\dfrac{-14}{5} \right)$. Khi đó $H$ là trung điểm của ${{I}_{1}}{{I}_{3}}$ $\Rightarrow {{I}_{3}}\left( \dfrac{1}{5};\dfrac{-18}{5} \right)$
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{3}}}=\left( \dfrac{21}{5};\dfrac{-28}{5} \right)=\dfrac{3}{5}\left( 3;-4 \right)$ $\Rightarrow \left( {{I}_{1}}{{I}_{3}} \right):4x+3y+10=0$
Khi đó $A={{I}_{1}}{{I}_{3}}\cap \left( \Delta \right)\Rightarrow A\left( -1;-2 \right)\Rightarrow z=-1-2i$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=-2 \\
\end{aligned} \right. $ nên $ P=3{{a}^{2}}-{{b}^{3}}=11$.
& {{w}_{1}}={{z}_{1}} \\
& {{w}_{2}}=2{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\left| {{z}_{1}}+3+2i \right|=1\Leftrightarrow \left| {{w}_{1}}+3+2i \right|=1$. Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức ${{w}_{1}}$, khi đó $M$ thuộc đường tròn $({{C}_{1}})$ có tâm ${{I}_{1}}(-3;-2),R=1.$
Ta có: $\left| {{z}_{2}}+2-i \right|=1\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{2}}+4-2i \right|=2$. Gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức ${{w}_{2}}$, khi đó $N$ thuộc đường tròn $({{C}_{2}})$ có tâm ${{I}_{1}}(-4;2),R=2.$
Xét số phức $z=x+yi$ có điểm biểu diễn là $A(x;y)$, $A\in \left( \Delta \right):2x-y=0$
Tìm $A\in \left( \Delta \right)$ sao cho $T=AM+AN$ đạt giá trị nhỏ nhất.
$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $A={{I}_{2}}{{I}_{3}}\cap \left( \Delta \right)$ với ${{I}_{3}}$ đối xứng với ${{I}_{1}}$ qua $\left( \Delta \right)$.
Khi đó ${{I}_{1}}{{I}_{3}}$ $\left\{ \begin{aligned}
& qua {{I}_{1}}(-3;-2) \\
& \bot \left( \Delta \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow x+2y+7=0$
Gọi $H={{I}_{1}}{{I}_{3}}\cap \left( \Delta \right)\Rightarrow H\left( \dfrac{-7}{5};\dfrac{-14}{5} \right)$. Khi đó $H$ là trung điểm của ${{I}_{1}}{{I}_{3}}$ $\Rightarrow {{I}_{3}}\left( \dfrac{1}{5};\dfrac{-18}{5} \right)$
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{3}}}=\left( \dfrac{21}{5};\dfrac{-28}{5} \right)=\dfrac{3}{5}\left( 3;-4 \right)$ $\Rightarrow \left( {{I}_{1}}{{I}_{3}} \right):4x+3y+10=0$
Khi đó $A={{I}_{1}}{{I}_{3}}\cap \left( \Delta \right)\Rightarrow A\left( -1;-2 \right)\Rightarrow z=-1-2i$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=-2 \\
\end{aligned} \right. $ nên $ P=3{{a}^{2}}-{{b}^{3}}=11$.
Đáp án C.