Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-3i+5 \right|=2$ và $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$.
A. $\sqrt{313}$.
B. $\sqrt{313}+8$.
C. $\sqrt{313}+16$.
D. $\sqrt{313}+2\sqrt{5}$.
A. $\sqrt{313}$.
B. $\sqrt{313}+8$.
C. $\sqrt{313}+16$.
D. $\sqrt{313}+2\sqrt{5}$.
Ta có $\left| {{z}_{1}}-3i+5 \right|=2\Leftrightarrow \left| 2i{{z}_{1}}+6+10i \right|=4$ $\left( 1 \right)$ ; $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4\Leftrightarrow \left| \left( -3{{z}_{2}} \right)-6-3i \right|=12$ $\left( 2 \right)$.
Gọi $A$ là điểm biểu diễn số phức $2i{{z}_{1}}$, $B$ là điểm biểu diễn số phức $-3{{z}_{2}}$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra điểm $A$ nằm trên đường tròn tâm ${{I}_{1}}\left( -6;-10 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=4$ ; điểm $B$ nằm trên đường tròn tâm ${{I}_{2}}\left( 6;3 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=12$.
Ta có $T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=AB\le {{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{13}^{2}}}+4+12=\sqrt{313}+16$.
Vậy $\max T=\sqrt{313}+16$.
Gọi $A$ là điểm biểu diễn số phức $2i{{z}_{1}}$, $B$ là điểm biểu diễn số phức $-3{{z}_{2}}$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra điểm $A$ nằm trên đường tròn tâm ${{I}_{1}}\left( -6;-10 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=4$ ; điểm $B$ nằm trên đường tròn tâm ${{I}_{2}}\left( 6;3 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=12$.
Vậy $\max T=\sqrt{313}+16$.
Đáp án C.