Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{3}$, $\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}$, $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{10}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-3 \right|$.
A. $5+\sqrt{21}$.
B. $-3+\sqrt{21}$.
C. $3+2\sqrt{21}$.
D. $3+\sqrt{21}$.
A. $5+\sqrt{21}$.
B. $-3+\sqrt{21}$.
C. $3+2\sqrt{21}$.
D. $3+\sqrt{21}$.
Gọi $M, N, P$ lần lượt là điểm biểu diển cho $z_{1}, z_{2}, w=2 z_{1}+z_{2}$ trên mặt phẳng tọa độ.
Do đó trung điểm $I$ của $M N$ biểu diễn cho số phức $\dfrac{z_{1}+z_{2}}{2}$ và $O I=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác $O M N$ ta có
$O I^{2}=\dfrac{O M^{2}+O N^{2}}{2}-\dfrac{M N^{2}}{4} \Rightarrow M N^{2}=2\left(O M^{2}+O N^{2}\right)-4 O I^{2}=2(3+5)-4 \cdot \dfrac{10}{4}=6$.
Ta có $\overrightarrow{O P}=2 \overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}$, suy ra
$
O P^{2}=(2 \overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N})^{2}=4 O M^{2}+O N^{2}+4 \overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}=4 O M^{2}+O N^{2}+4 \cdot O M \cdot O N \cdot \cos \widehat{M O N}
$
$=4 O M^{2}+O N^{2}+4 \cdot O M \cdot O N \cdot \dfrac{O M^{2}+O N^{2}-M N^{2}}{2 O M \cdot O N}=4 \cdot 3+5+2(3+5-6)=21$.
Gọi $A(3 ; 0)$ thì $\left|2 z_{1}+z_{2}-3\right|=P A \leq O P+O A=3+\sqrt{21}$.
Đẳng thức xảy ra khi $O$ nằm giữa $P$ và $A$.
Do đó trung điểm $I$ của $M N$ biểu diễn cho số phức $\dfrac{z_{1}+z_{2}}{2}$ và $O I=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác $O M N$ ta có
$O I^{2}=\dfrac{O M^{2}+O N^{2}}{2}-\dfrac{M N^{2}}{4} \Rightarrow M N^{2}=2\left(O M^{2}+O N^{2}\right)-4 O I^{2}=2(3+5)-4 \cdot \dfrac{10}{4}=6$.
Ta có $\overrightarrow{O P}=2 \overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}$, suy ra
$
O P^{2}=(2 \overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N})^{2}=4 O M^{2}+O N^{2}+4 \overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}=4 O M^{2}+O N^{2}+4 \cdot O M \cdot O N \cdot \cos \widehat{M O N}
$
$=4 O M^{2}+O N^{2}+4 \cdot O M \cdot O N \cdot \dfrac{O M^{2}+O N^{2}-M N^{2}}{2 O M \cdot O N}=4 \cdot 3+5+2(3+5-6)=21$.
Gọi $A(3 ; 0)$ thì $\left|2 z_{1}+z_{2}-3\right|=P A \leq O P+O A=3+\sqrt{21}$.
Đẳng thức xảy ra khi $O$ nằm giữa $P$ và $A$.
Đáp án D.