Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-2-2i \right|=\dfrac{1}{8}$ và $\left| {{z}_{2}}-1 \right|+\left| {{z}_{2}}+1 \right|=2\sqrt{5}$. Số phức $z$ thỏa mãn $\left| 2z+2-5i \right|=\left| 2z+3-6i \right|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| z-2{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $\dfrac{23}{4}$.
B. $\dfrac{13}{2}$.
C. $\dfrac{11}{2}$.
D. $5$.
Gọi $A$ là điểm biểu diễn của số phức $2{{z}_{1}}$. Ta có $\left| {{z}_{1}}-2-2i \right|=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{1}}-4-4i \right|=\dfrac{1}{4}$.
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn của số phức $2{{z}_{1}}$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 4;4 \right)$, bán kính $R=\dfrac{1}{4}$.
Gọi $B$ là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{2}}$ và ${{F}_{1}}\left( 1;0 \right),{{F}_{2}}\left( -1;0 \right)$.
$\left| {{z}_{2}}-1 \right|+\left| {{z}_{2}}+1 \right|=2\sqrt{5}\Rightarrow B{{F}_{1}}+B{{F}_{2}}=2\sqrt{5}$.$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=1 \\
& a=\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow b=2$.
$\Rightarrow $ Tập hơp điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{2}}$ là $Elip:\dfrac{{{x}^{2}}}{5}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1$.$$
Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in R$ $\Rightarrow \left| 2z+2-5i \right|=\left| 2z+3-6i \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 2a+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2b-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a+3 \right)}^{2}}+{{\left( 2b-6 \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow b=a+4$.
Gọi $M$ là điểm biểu diễn của số phức $z$
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn của số phức $z$ là đường thẳng $d:y=x+4$.
Đặt $P=\left| z-2{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|=MA+MB$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d\Rightarrow H\in d\Rightarrow H\left( h;h+4 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\left( h-4;h \right)$.
Vì $IH\bot d\Rightarrow \overrightarrow{IH}.{{\overrightarrow{u}}_{d}}=0\Rightarrow h-4+h=0\Rightarrow h=2\Rightarrow H\left( 2;6 \right)$.
Gọi $I'$ là điểm đối xứng của $I$ qua $d\Rightarrow I'\left( 0;8 \right)$.
Phương trình đường tròn $\left( C' \right)$ đối xứng của $\left( C \right)$ qua $d$ là ${{x}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}=\frac{1}{4}$.
$\Rightarrow P=MA+MB=MA'+MB\ge {{A}_{0}}{{B}_{0}}=\frac{11}{2}$ ( tham khảo hình vẽ).
Dấu bằng xảy ra khi $B,M,A$ theo thứ tự thẳng hàng.
A. $\dfrac{23}{4}$.
B. $\dfrac{13}{2}$.
C. $\dfrac{11}{2}$.
D. $5$.
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn của số phức $2{{z}_{1}}$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 4;4 \right)$, bán kính $R=\dfrac{1}{4}$.
Gọi $B$ là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{2}}$ và ${{F}_{1}}\left( 1;0 \right),{{F}_{2}}\left( -1;0 \right)$.
$\left| {{z}_{2}}-1 \right|+\left| {{z}_{2}}+1 \right|=2\sqrt{5}\Rightarrow B{{F}_{1}}+B{{F}_{2}}=2\sqrt{5}$.$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=1 \\
& a=\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow b=2$.
$\Rightarrow $ Tập hơp điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{2}}$ là $Elip:\dfrac{{{x}^{2}}}{5}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1$.$$
Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in R$ $\Rightarrow \left| 2z+2-5i \right|=\left| 2z+3-6i \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 2a+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2b-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a+3 \right)}^{2}}+{{\left( 2b-6 \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow b=a+4$.
Gọi $M$ là điểm biểu diễn của số phức $z$
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn của số phức $z$ là đường thẳng $d:y=x+4$.
Đặt $P=\left| z-2{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|=MA+MB$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d\Rightarrow H\in d\Rightarrow H\left( h;h+4 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\left( h-4;h \right)$.
Vì $IH\bot d\Rightarrow \overrightarrow{IH}.{{\overrightarrow{u}}_{d}}=0\Rightarrow h-4+h=0\Rightarrow h=2\Rightarrow H\left( 2;6 \right)$.
Gọi $I'$ là điểm đối xứng của $I$ qua $d\Rightarrow I'\left( 0;8 \right)$.
Phương trình đường tròn $\left( C' \right)$ đối xứng của $\left( C \right)$ qua $d$ là ${{x}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}=\frac{1}{4}$.
$\Rightarrow P=MA+MB=MA'+MB\ge {{A}_{0}}{{B}_{0}}=\frac{11}{2}$ ( tham khảo hình vẽ).
Dấu bằng xảy ra khi $B,M,A$ theo thứ tự thẳng hàng.
Đáp án A.