Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left|...

Gọi ${{M}_{1}}$, ${{M}_{2}}$, $M$ lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}}$, $2{{z}_{2}}$, $z$ trên hệ trục tọa độ $Oxy$. Khi đó, điểm ${{M}_{1}}$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm ${{I}_{1}}\left( -3 ; -2 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=1$ ; điểm ${{M}_{2}}$ thuộc đường $\left( {{C}_{2}} \right)$ tròn tâm ${{I}_{2}}\left( -4 ; 2 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=2$ ; điểm $M$ thuộc đường thẳng $d:2x-y=0$.
Khi đó bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|$ trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $P=M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}$.
Gọi $\left( {{C}_{3}} \right)$ có tâm ${{I}_{3}}\left( \dfrac{1}{5} ; -\dfrac{18}{5} \right)$, ${{R}_{3}}=1$ là đường tròn đối xứng với $\left( {{C}_{1}} \right)$ qua $d$. Khi đó $\min \left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}} \right)=\min \left( M{{M}_{3}}+M{{M}_{2}} \right)$ với ${{M}_{3}}\in \left( {{C}_{3}} \right)$.
Gọi $A$, $B$ lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng ${{I}_{2}}{{I}_{3}}$ với $\left( {{C}_{2}} \right)$, $\left( {{C}_{3}} \right)$ (Quan sát hình vẽ).
Khi đó với mọi điểm ${{M}_{2}}\in \left( {{C}_{2}} \right)$, ${{M}_{3}}\in \left( {{C}_{3}} \right)$, $M\in d$ ta có $M{{M}_{2}}+M{{M}_{3}}\ge AB$, dấu "=" xảy ra khi ${{M}_{1}}\equiv A,{{M}_{3}}\equiv B$. Do đó ${{P}_{\min }}=AB={{I}_{2}}{{I}_{3}}-3=\sqrt{{{\left( \dfrac{1}{5}+4 \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{18}{5}-2 \right)}^{2}}}-3=4$.
Ta có $M$ là giao điểm của ${{I}_{2}}{{I}_{3}}$ với $d$. Suy ra $M\left( -1 ; -2 \right)$.
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5$.