Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+2+8i \right|=2\sqrt{5}$ và $\left| {{z}_{2}}+3+5i \right|=\left| {{z}_{2}}-1-3i \right|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}-3+i \right|+\left| {{z}_{2}}+3+4i \right|$ bằng:
A. $4\sqrt{5}$.
B. $6\sqrt{5}$.
C. $5\sqrt{5}$.
D. $3\sqrt{5}$.
A. $4\sqrt{5}$.
B. $6\sqrt{5}$.
C. $5\sqrt{5}$.
D. $3\sqrt{5}$.
Đặt $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ trên mặt phẳng phức.
Ta có $\left| {{z}_{1}}+2+8i \right|=2\sqrt{5}$ nên $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -2;-8 \right)$ và $R=2\sqrt{5}$.
Ta có $\left| {{z}_{2}}+3+5i \right|=\left| {{z}_{2}}-1-3i \right|$ nên $N$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$ với $A\left( -3;-5 \right)$, $B\left( 1;3 \right)$ $\Rightarrow d:x+2y+3=0$
Ta có $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}-3+i \right|+\left| {{z}_{2}}+3+4i \right|=MN+NC+ND$ với $C\left( 3;-1 \right)$, $D\left( -3;-4 \right)$
Ta có $CD:x-2y-5=0$
Gọi $E=d\cap CD\Rightarrow E:\left\{ \begin{matrix}
x+2y=-3 \\
x-2y=5 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow E\left( 1;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IE}=\left( 3;-6 \right)\Rightarrow IE=3\sqrt{5}$
Khi đó $P=MN+NC+ND\ge \left| IE-R \right|+CD=\left| 3\sqrt{5}-2\sqrt{5} \right|+3\sqrt{5}=4\sqrt{5}$.
Đẳng thức xảy ra khi $N\equiv E$, $M=IE\cap \left( C \right)$ và $M$ nằm giữa $I$ và $E$.
Ta có $\left| {{z}_{1}}+2+8i \right|=2\sqrt{5}$ nên $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -2;-8 \right)$ và $R=2\sqrt{5}$.
Ta có $\left| {{z}_{2}}+3+5i \right|=\left| {{z}_{2}}-1-3i \right|$ nên $N$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$ với $A\left( -3;-5 \right)$, $B\left( 1;3 \right)$ $\Rightarrow d:x+2y+3=0$
Ta có $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}-3+i \right|+\left| {{z}_{2}}+3+4i \right|=MN+NC+ND$ với $C\left( 3;-1 \right)$, $D\left( -3;-4 \right)$
Gọi $E=d\cap CD\Rightarrow E:\left\{ \begin{matrix}
x+2y=-3 \\
x-2y=5 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow E\left( 1;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IE}=\left( 3;-6 \right)\Rightarrow IE=3\sqrt{5}$
Khi đó $P=MN+NC+ND\ge \left| IE-R \right|+CD=\left| 3\sqrt{5}-2\sqrt{5} \right|+3\sqrt{5}=4\sqrt{5}$.
Đẳng thức xảy ra khi $N\equiv E$, $M=IE\cap \left( C \right)$ và $M$ nằm giữa $I$ và $E$.
Đáp án A.