Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}$ ; ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-1-2i \right|=1$ ; $\left| {{z}_{2}}-2-8i \right|=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-5-2i \right|+2\left| {{z}_{2}}-6-8i \right|+4\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
A. $30$.
B. $25$.
C. $35$.
D. $20$.
A. $30$.
B. $25$.
C. $35$.
D. $20$.
Gọi điểm $M\left( {{x}_{1}} ; {{y}_{1}} \right)$ ; $N\left( {{x}_{2}} ; {{y}_{2}} \right)$ lần lượt biểu diễn các số phức ${{z}_{1}}$ ; ${{z}_{2}}$.
Gọi $A\left( 5 ; 2 \right)$ ; $B\left( 6 ; 8 \right)$
Từ gt $\Rightarrow $ $M$ thuộc đường tròn tâm ${{I}_{1}}\left( 1 ; 2 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=1$ ; $N$ thuộc đường tròn tâm ${{I}_{2}}\left( 2 ; 8 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=2$
Mà ${{I}_{1}}A=4=4{{R}_{1}}$ ; ${{I}_{2}}B=4=2{{R}_{2}}$
Lấy các điểm $G$ ; $K$ sao cho $\overrightarrow{{{I}_{1}}G}=\dfrac{1}{16}\overrightarrow{{{I}_{1}}A}$ ; $\overrightarrow{{{I}_{2}}K}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{{{I}_{2}}B}$ $\Rightarrow $ $G\left( \dfrac{5}{4} ; 2 \right)$ ; $K\left( 3 ; 8 \right)$
Dễ thấy $\Delta {{I}_{1}}MG\sim \Delta {{I}_{1}}AM$ $\Rightarrow $ $\dfrac{AM}{MG}=\dfrac{{{I}_{1}}A}{{{I}_{1}}M}=4$ $\Rightarrow $ $AM=4GM$
$\Delta {{I}_{2}}NK\sim \Delta {{I}_{2}}BN$ $\Rightarrow $ $\dfrac{BN}{KN}=\dfrac{{{I}_{2}}B}{{{I}_{2}}N}=2$ $\Rightarrow $ $NB=2NK$
Do đó $P=AM+2BN+4MN=4GM+4MN+4NK=4\left( GM+MN+NK \right)\ge 4GK=25$.
Vậy $\min P=25$.
Dấu $''=''$ xay ra khi $G,M,N,K$ thẳng hàng.
Gọi $A\left( 5 ; 2 \right)$ ; $B\left( 6 ; 8 \right)$
Từ gt $\Rightarrow $ $M$ thuộc đường tròn tâm ${{I}_{1}}\left( 1 ; 2 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=1$ ; $N$ thuộc đường tròn tâm ${{I}_{2}}\left( 2 ; 8 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=2$
Mà ${{I}_{1}}A=4=4{{R}_{1}}$ ; ${{I}_{2}}B=4=2{{R}_{2}}$
Lấy các điểm $G$ ; $K$ sao cho $\overrightarrow{{{I}_{1}}G}=\dfrac{1}{16}\overrightarrow{{{I}_{1}}A}$ ; $\overrightarrow{{{I}_{2}}K}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{{{I}_{2}}B}$ $\Rightarrow $ $G\left( \dfrac{5}{4} ; 2 \right)$ ; $K\left( 3 ; 8 \right)$
Dễ thấy $\Delta {{I}_{1}}MG\sim \Delta {{I}_{1}}AM$ $\Rightarrow $ $\dfrac{AM}{MG}=\dfrac{{{I}_{1}}A}{{{I}_{1}}M}=4$ $\Rightarrow $ $AM=4GM$
$\Delta {{I}_{2}}NK\sim \Delta {{I}_{2}}BN$ $\Rightarrow $ $\dfrac{BN}{KN}=\dfrac{{{I}_{2}}B}{{{I}_{2}}N}=2$ $\Rightarrow $ $NB=2NK$
Do đó $P=AM+2BN+4MN=4GM+4MN+4NK=4\left( GM+MN+NK \right)\ge 4GK=25$.
Vậy $\min P=25$.
Dấu $''=''$ xay ra khi $G,M,N,K$ thẳng hàng.
Đáp án B.