Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+\left| {{z}_{1}}-4 \right| \right|=\left| {{z}_{1}}-\left| {{z}_{1}}-4 \right| \right|$, $\left| {{z}_{2}}-4-3i \right|=2$ và $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{3+i}$ là số thuần ảo. Giá trị nhỏ nhất của $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ gần với giá trị nào nhất sau đây?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Gọi $M\left( {{z}_{1}} \right),N\left( {{z}_{2}} \right)$. Có $\sqrt{{{\left( {{a}_{1}}+\left| {{z}_{1}}-4 \right| \right)}^{2}}+b_{1}^{2}}=\sqrt{{{\left( {{a}_{1}}-\left| {{z}_{1}}-4 \right| \right)}^{2}}+b_{1}^{2}}\Leftrightarrow {{a}_{1}}\left| {{z}_{1}}-4 \right|=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{a}_{1}}=0 \\
& {{z}_{1}}=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $M\left( 4;0 \right)$ hoặc M thay đổi trên đường thẳng $x=0$.
Do $\left| {{z}_{2}}-4-3i \right|=2$ nên N thuộc đường tròn tâm I(4;3) bán kính $R=2$.
Mặt khác $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{3+i}=ki \left( k\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{1}}-{{a}_{2}}=-k \\
& {{b}_{1}}-{{b}_{2}}=3k \\
\end{aligned} \right. $ hay $ \overrightarrow{MN} $ cùng phương với $ \overrightarrow{u}=\left( -1;3 \right)$.
Trường hợp 1: $M\left( 4;0 \right)\Rightarrow $ phương trình đường thẳng
MN là $3x+y-12=0$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& N\left( \dfrac{31-\sqrt{31}}{10};\dfrac{27+3\sqrt{31}}{10} \right) \\
& N\left( \dfrac{31+\sqrt{31}}{10};\dfrac{27-3\sqrt{31}}{10} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MN\ge \dfrac{9\sqrt{10}-\sqrt{310}}{10}$
Trường hợp 2:
$M\in d:x=0$. Do MN cùng phương với $\overrightarrow{u}=\left( -1;3 \right)$ nên MN tạo với d một góc α không đổi thỏa mãn $\cos \alpha =\dfrac{3}{\sqrt{10}}$.
Do đó ta có: $MN=\dfrac{NK}{\sin \alpha }=NK\sqrt{10}$.
Mặt khác $NK=JH=IH-\text{IJ}$. Do $\text{IJ}\le IN\Rightarrow NK\ge IH-R=4-2=2$.
Vì vậy $MN\ge 2\sqrt{10}\approx 6,32$. Kết hợp trường hợp 1 ta suy ra $M{{N}_{\min }}=\dfrac{9\sqrt{10}-\sqrt{310}}{10}\approx 1,085$.
& {{a}_{1}}=0 \\
& {{z}_{1}}=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $M\left( 4;0 \right)$ hoặc M thay đổi trên đường thẳng $x=0$.
Do $\left| {{z}_{2}}-4-3i \right|=2$ nên N thuộc đường tròn tâm I(4;3) bán kính $R=2$.
Mặt khác $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{3+i}=ki \left( k\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{1}}-{{a}_{2}}=-k \\
& {{b}_{1}}-{{b}_{2}}=3k \\
\end{aligned} \right. $ hay $ \overrightarrow{MN} $ cùng phương với $ \overrightarrow{u}=\left( -1;3 \right)$.
Trường hợp 1: $M\left( 4;0 \right)\Rightarrow $ phương trình đường thẳng
MN là $3x+y-12=0$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& N\left( \dfrac{31-\sqrt{31}}{10};\dfrac{27+3\sqrt{31}}{10} \right) \\
& N\left( \dfrac{31+\sqrt{31}}{10};\dfrac{27-3\sqrt{31}}{10} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MN\ge \dfrac{9\sqrt{10}-\sqrt{310}}{10}$
Trường hợp 2:
$M\in d:x=0$. Do MN cùng phương với $\overrightarrow{u}=\left( -1;3 \right)$ nên MN tạo với d một góc α không đổi thỏa mãn $\cos \alpha =\dfrac{3}{\sqrt{10}}$.
Do đó ta có: $MN=\dfrac{NK}{\sin \alpha }=NK\sqrt{10}$.
Mặt khác $NK=JH=IH-\text{IJ}$. Do $\text{IJ}\le IN\Rightarrow NK\ge IH-R=4-2=2$.
Vì vậy $MN\ge 2\sqrt{10}\approx 6,32$. Kết hợp trường hợp 1 ta suy ra $M{{N}_{\min }}=\dfrac{9\sqrt{10}-\sqrt{310}}{10}\approx 1,085$.
Đáp án A.