Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left|...

ta có $\left| {{z}_{1}}-3i+5 \right|=2\Leftrightarrow \left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right) \right|=4.\left| 2i \right|\Leftrightarrow \left| 2i{{z}_{1}}+6+10i \right|=4$
Và $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}-\dfrac{1-2i}{i} \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+2+i \right|=4\Leftrightarrow \left| -3{{z}_{2}}-6-3i \right|=12$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=2i{{z}_{1}} \\
& v=-3{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| u+6+10i \right|=4 \\
& \left| v-6-3i \right|=12 \\
\end{aligned} \right. $ và $ T=\left| {{z}_{2}}+2+i \right|=4\Leftrightarrow \left| -3{{z}_{2}}-6-3i \right|=12$
tập hợp điểm M biểu diễn số phức u là đường tròn ${{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y+10 \right)}^{2}}=16$ tâm
${{I}_{1}}\left( -6;-10 \right),{{R}_{1}}=4$
Tập hợp điểm N biểu diễn số phức v là đường tròn ${{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=144$ tâm
${{I}_{2}}\left( 6;3 \right),{{R}_{2}}=12$
Khi đó $T=M{{N}_{\max }}\Leftrightarrow MN={{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{13}^{2}}}+4+12=\sqrt{313}+16$.