Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| \dfrac{{{z}_{1}}-i}{{{z}_{1}}+2-3i} \right|=1,\left| \dfrac{{{z}_{2}}+i}{{{z}_{2}}-1+i} \right|=\sqrt{2}$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là
A. $2\sqrt{2}$
B. $\sqrt{2}-1$
C. 1
D. $\sqrt{2}$
A. $2\sqrt{2}$
B. $\sqrt{2}-1$
C. 1
D. $\sqrt{2}$
Ta có $\left| \dfrac{{{z}_{1}}-i}{{{z}_{1}}+2-3i} \right|=1\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}-i \right|=\left| {{z}_{1}}+2-3i \right|\Leftrightarrow \left| x+\left( y-1 \right)i \right|=\left| x+2+\left( y-3 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y+1={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-6y+13\Leftrightarrow x-y+3=0$
Suy ra tập hợp điểm $M\left( {{z}_{1}} \right)$ thuộc đường thẳng $d:x-y+3=0$
Lại có $\left| \dfrac{{{z}_{2}}+i}{{{z}_{2}}-1+i} \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+i \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-1+i \right|\Leftrightarrow \left| x+\left( y+1 \right)i \right|=\sqrt{2}\left| x-1+\left( y+1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2{{\left( y+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2$
Suy ra tập hợp điểm $N\left( {{z}_{2}} \right)$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 2;-1 \right),R=\sqrt{2}$
Dựa vào vị trí tương đối của $d$ và $\left( C \right)$, ta thấy ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=M{{N}_{\min }}=d\left[ I;\left( d \right) \right]-R=2\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y+1={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-6y+13\Leftrightarrow x-y+3=0$
Suy ra tập hợp điểm $M\left( {{z}_{1}} \right)$ thuộc đường thẳng $d:x-y+3=0$
Lại có $\left| \dfrac{{{z}_{2}}+i}{{{z}_{2}}-1+i} \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+i \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-1+i \right|\Leftrightarrow \left| x+\left( y+1 \right)i \right|=\sqrt{2}\left| x-1+\left( y+1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2{{\left( y+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2$
Suy ra tập hợp điểm $N\left( {{z}_{2}} \right)$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 2;-1 \right),R=\sqrt{2}$
Dựa vào vị trí tương đối của $d$ và $\left( C \right)$, ta thấy ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=M{{N}_{\min }}=d\left[ I;\left( d \right) \right]-R=2\sqrt{2}$
Đáp án A.