Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $\left|...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho hai số phức

z_{1}, z_{2}

thỏa mãn

| \frac{z_{1} - i}{z_{1} + 2 - 3 i} | = 1, | \frac{z_{2} + i}{z_{2} - 1 + i} | = \sqrt{2}

. Giá trị nhỏ nhất của

| z_{1} - z_{2} |

là
A.

2 \sqrt{2}

B.

\sqrt{2} - 1

C. 1
D.

\sqrt{2}

Ta có

| \frac{z_{1} - i}{z_{1} + 2 - 3 i} | = 1 \Leftrightarrow | z_{1} - i | = | z_{1} + 2 - 3 i | \Leftrightarrow | x + (y - 1) i | = | x + 2 + (y - 3) i |

\Leftrightarrow x^{2} + {(y - 1)}^{2} = {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 y + 1 = x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 13 \Leftrightarrow x - y + 3 = 0

Suy ra tập hợp điểm

M (z_{1})

thuộc đường thẳng

d : x - y + 3 = 0

Lại có

| \frac{z_{2} + i}{z_{2} - 1 + i} | = \sqrt{2} \Leftrightarrow | z_{2} + i | = \sqrt{2} | z_{2} - 1 + i | \Leftrightarrow | x + (y + 1) i | = \sqrt{2} | x - 1 + (y + 1) i |

\Leftrightarrow x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2 {(x - 1)}^{2} + 2 {(y + 1)}^{2} \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2

Suy ra tập hợp điểm

N (z_{2})

thuộc đường tròn

(C)

tâm

I (2; - 1), R = \sqrt{2}

Dựa vào vị trí tương đối của

d

và

(C)

, ta thấy

{| z_{1} - z_{2} |}_{min} = M N_{min} = d [I; (d)] - R = 2 \sqrt{2}

Đáp án A.

Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn $\left|...