Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left|...

Gọi $\left\{ \begin{aligned}
& M\left( {{z}_{1}} \right) \\
& M\left( {{z}_{2}} \right) \\
\end{aligned} \right., $ khi đó: $ \left| {{z}_{1}}-1+3i \right|=4\Leftrightarrow MI=4 $ với $ I\left( 1;-3 \right).$
Suy ra M thuộc đường tròn tâm $I\left( 1;-3 \right),$ bán kính $R=4.$
Ta có: $\left| {{z}_{2}}-1+i \right|=\left| \overline{{{z}_{2}}}+2+3i \right|\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}-1+i \right|=\left| {{z}_{2}}+2-3i \right|\Leftrightarrow NA=NB$ trong đó: $\left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;-1 \right) \\
& B\left( -2;3 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra N thuộc đường thẳng $\Delta :6x-8y+11=0$ là đường trung trực của AB.
Khi đó: $T=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN\ge {{M}_{0}}H$ với H là hình chiếu vuông góc của I trên $\Delta $ và $IH\cap \left( C \right)=\left\{ {{M}_{0}} \right\}$ (như hình vẽ)

Ta có: ${{M}_{0}}H=IH-I{{M}_{0}}$
$=d\left( I,\Delta \right)-R=\dfrac{\left| 6+24+11 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}}-4=\dfrac{1}{10}.$
Suy ra $T\ge \dfrac{1}{10}\Rightarrow {{T}_{\min }}=\dfrac{1}{10}.$