Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1$ và $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3$. Giá trị lớn nhất của $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ là:
A. $2\sqrt{2}$.
B. $3$.
C. $2\sqrt{5}$.
D. $\sqrt{10}$.
A. $2\sqrt{2}$.
B. $3$.
C. $2\sqrt{5}$.
D. $\sqrt{10}$.
Đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i;{{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i$
Ta có:
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=1$
$\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2{{y}_{1}}{{y}_{2}}=1(1)$
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=3$
$\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2{{y}_{1}}{{y}_{2}}=9(2)$
(1) Cộng (2) vế theo vê ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=5$
$T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có
$T=1\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}+1\cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\le \sqrt{(1+1)\left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \right)}$
$=\sqrt{2.5}=\sqrt{10}\Rightarrow \max T=\sqrt{10}$
Ta có:
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=1$
$\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2{{y}_{1}}{{y}_{2}}=1(1)$
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=3$
$\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2{{y}_{1}}{{y}_{2}}=9(2)$
(1) Cộng (2) vế theo vê ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=5$
$T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có
$T=1\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}+1\cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\le \sqrt{(1+1)\left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \right)}$
$=\sqrt{2.5}=\sqrt{10}\Rightarrow \max T=\sqrt{10}$
Đáp án D.