Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-5+3i \right|=\left| {{z}_{1}}-1-3i \right|$, $\left| {{z}_{2}}-4-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-2+3i \right|$.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| \overline{{{z}_{1}}}-6+i \right|+\left| {{z}_{2}}-6-i \right|$ là
A. $2\sqrt{10}.$
B. $6.$
C. $\dfrac{16}{\sqrt{13}}.$
D. $\dfrac{18}{\sqrt{13}}.$
A. $2\sqrt{10}.$
B. $6.$
C. $\dfrac{16}{\sqrt{13}}.$
D. $\dfrac{18}{\sqrt{13}}.$
Đặt ${{z}_{1}}=x+yi$ thì $\left| {{z}_{1}}-5+3i \right|=\left| {{z}_{1}}-1-3i \right|\Leftrightarrow 2\text{x}-3y-6=0\left( {{d}_{1}} \right).$
Đặt ${{z}_{2}}=x'+y'i$ thì $\left| {{z}_{2}}-4-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-2+3i \right|\Leftrightarrow \text{x }\!\!'\!\!\text{ +3}y'-3=0\left( {{d}_{2}} \right).$
Gọi A,B lần lượt là điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì $A\in {{d}_{1}};B\in {{d}_{2}}.$
Gọi $C\left( 6;1 \right)$.
$\begin{aligned}
& P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| \overline{{{z}_{1}}}-6+i \right|+\left| {{z}_{2}}-6-i \right| \\
& =\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{1}}-6-i \right|+\left| {{z}_{2}}-6-i \right|. \\
& =AB+AC+BC\ge {{C}_{1}}{{C}_{2}}. \\
\end{aligned}$
Với ${{C}_{1}},{{C}_{2}}$ lần lượt đối xứng với C qua ${{d}_{1}};{{d}_{2}}.$
Phương trình $C{{C}_{1}}$ : $3x+2y-20=0\Rightarrow {{C}_{1}}\left( \dfrac{66}{13};\dfrac{31}{13} \right)$
Phương trình $C{{C}_{2}}$ : $3x-y-17=0\Rightarrow {{C}_{2}}\left( \dfrac{24}{5};\dfrac{-13}{5} \right)$
Vậy ${{C}_{1}}{{C}_{2}}=\dfrac{18}{\sqrt{13}}.$
Đặt ${{z}_{2}}=x'+y'i$ thì $\left| {{z}_{2}}-4-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-2+3i \right|\Leftrightarrow \text{x }\!\!'\!\!\text{ +3}y'-3=0\left( {{d}_{2}} \right).$
Gọi A,B lần lượt là điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì $A\in {{d}_{1}};B\in {{d}_{2}}.$
Gọi $C\left( 6;1 \right)$.
$\begin{aligned}
& P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| \overline{{{z}_{1}}}-6+i \right|+\left| {{z}_{2}}-6-i \right| \\
& =\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{1}}-6-i \right|+\left| {{z}_{2}}-6-i \right|. \\
& =AB+AC+BC\ge {{C}_{1}}{{C}_{2}}. \\
\end{aligned}$
Với ${{C}_{1}},{{C}_{2}}$ lần lượt đối xứng với C qua ${{d}_{1}};{{d}_{2}}.$
Phương trình $C{{C}_{1}}$ : $3x+2y-20=0\Rightarrow {{C}_{1}}\left( \dfrac{66}{13};\dfrac{31}{13} \right)$
Phương trình $C{{C}_{2}}$ : $3x-y-17=0\Rightarrow {{C}_{2}}\left( \dfrac{24}{5};\dfrac{-13}{5} \right)$
Vậy ${{C}_{1}}{{C}_{2}}=\dfrac{18}{\sqrt{13}}.$
Đáp án D.