Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+3-4i \right|=1,\left| {{z}_{2}}+6-i \right|=2$. Tìm tổng của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
A. 3.
B. 6.
C. $1+\sqrt{2}$.
D. $6+3\sqrt{2}$.
Giả sử M(a,b) là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}}=a+bi$, N(c,d) là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{2}}=c+di$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+3-4i \right|=1 \\
& \left| {{z}_{2}}+6-i \right|=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{(a+3)}^{2}}+{{(b-4)}^{2}}=1 \\
& {{(a+6)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.$
M thuộc đường tròn $({{C}_{1}}):{{(x+3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=1$ và N thuộc $({{C}_{2}}):{{(x+6)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=25$ và ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=MN$
Bài toán trở thành: Cho M chạy trên đường tròn $({{C}_{1}}):{{(x+3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=1$ và N chạy trên đường tròn $({{C}_{2}}):{{(x+6)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=25$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của MN.
Đường tròn $({{C}_{1}}):{{(x+3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=1$ có tâm ${{I}_{1}}(-3;4)$, bán kính ${{R}_{1}}=1$.
Đường tròn $({{C}_{2}}):{{(x+6)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=25$ có tâm ${{I}_{2}}(-6;1)$, bán kính ${{R}_{2}}=5$.
Do ${{R}_{2}}-{{R}_{1}}\le {{I}_{1}}{{I}_{2}}<{{R}_{2}}+{{R}_{1}}$ nên hai đường tròn cắt hau tại hai điểm A, B.
Khi đó $M{{N}_{\min }}=0\Leftrightarrow M\equiv N\equiv A$ hoặc $M\equiv N\equiv B$.
$M{{N}_{\max }}={{R}_{2}}+{{R}_{1}}+{{I}_{1}}{{I}_{2}}=6+3\sqrt{2}\Leftrightarrow M\equiv C$ và $N\equiv D$.
$Min\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=0,Max\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6+3\sqrt{2}$
A. 3.
B. 6.
C. $1+\sqrt{2}$.
D. $6+3\sqrt{2}$.
Giả sử M(a,b) là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}}=a+bi$, N(c,d) là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{2}}=c+di$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+3-4i \right|=1 \\
& \left| {{z}_{2}}+6-i \right|=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{(a+3)}^{2}}+{{(b-4)}^{2}}=1 \\
& {{(a+6)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.$
M thuộc đường tròn $({{C}_{1}}):{{(x+3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=1$ và N thuộc $({{C}_{2}}):{{(x+6)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=25$ và ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=MN$
Bài toán trở thành: Cho M chạy trên đường tròn $({{C}_{1}}):{{(x+3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=1$ và N chạy trên đường tròn $({{C}_{2}}):{{(x+6)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=25$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của MN.
Đường tròn $({{C}_{1}}):{{(x+3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=1$ có tâm ${{I}_{1}}(-3;4)$, bán kính ${{R}_{1}}=1$.
Đường tròn $({{C}_{2}}):{{(x+6)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=25$ có tâm ${{I}_{2}}(-6;1)$, bán kính ${{R}_{2}}=5$.
Do ${{R}_{2}}-{{R}_{1}}\le {{I}_{1}}{{I}_{2}}<{{R}_{2}}+{{R}_{1}}$ nên hai đường tròn cắt hau tại hai điểm A, B.
Khi đó $M{{N}_{\min }}=0\Leftrightarrow M\equiv N\equiv A$ hoặc $M\equiv N\equiv B$.
$M{{N}_{\max }}={{R}_{2}}+{{R}_{1}}+{{I}_{1}}{{I}_{2}}=6+3\sqrt{2}\Leftrightarrow M\equiv C$ và $N\equiv D$.
$Min\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=0,Max\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6+3\sqrt{2}$
Đáp án D.