Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=6$ và $\left| {{z}_{2}} \right|=2.$ Gọi $M,N$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức ${{z}_{1}}$ và $i{{z}_{2}}$. Biết $\widehat{MON}=60{}^\circ $. Tính $T=\left| z_{1}^{2}+9z_{2}^{2} \right|$.
A. $T=18.$
B. $T=24\sqrt{3}.$
C. $T=36\sqrt{2}.$
D. $T=36\sqrt{3}.$
A. $T=18.$
B. $T=24\sqrt{3}.$
C. $T=36\sqrt{2}.$
D. $T=36\sqrt{3}.$
Ta có $T=\left| z_{1}^{2}+9z_{2}^{2} \right|=\left| z_{1}^{2}-{{\left( 3i{{z}_{2}} \right)}^{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-3i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+3i{{z}_{2}} \right|$.
Gọi P là điểm biểu diễn số phức $3i{{z}_{2}}$.
Như vậy
$T=\left| {{z}_{1}}-3i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+3i{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP} \right|.\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP} \right|=\left| \overrightarrow{PM} \right|.\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=2PM.OI$.
Trong đó I là trung điểm của đoạn thẳng MP.
Điểm M biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và $\left| {{z}_{1}} \right|=6\Rightarrow OM=6$.
Điểm P biểu diễn số phức $3i{{z}_{2}}$ và $\left| {{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow OP=6$.
Bài ra $\widehat{MON}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta MOP$ đều $\Rightarrow PM=6$ và $OI=OP.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.
Vậy $T=2PM.OI=36\sqrt{3}$.
Gọi P là điểm biểu diễn số phức $3i{{z}_{2}}$.
Như vậy
$T=\left| {{z}_{1}}-3i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+3i{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP} \right|.\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP} \right|=\left| \overrightarrow{PM} \right|.\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=2PM.OI$.
Trong đó I là trung điểm của đoạn thẳng MP.
Điểm M biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và $\left| {{z}_{1}} \right|=6\Rightarrow OM=6$.
Điểm P biểu diễn số phức $3i{{z}_{2}}$ và $\left| {{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow OP=6$.
Bài ra $\widehat{MON}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta MOP$ đều $\Rightarrow PM=6$ và $OI=OP.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.
Vậy $T=2PM.OI=36\sqrt{3}$.
Đáp án D.